Krzywa pogoni

Konstrukcja prostej krzywej pogoni

Krzywa pogoni – krzywa matematyczna, określająca tor punktu („ścigający”), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu („ścigany”), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.

Prosta krzywa pogoni

Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.

Definicja

Niech $A_0$ będzie punktem startowym „ściganego”, a $P_0$ punktem startowym „ścigającego”.

Niech punkt $A$ porusza się ruchem jednostajnym z prędkością $v=const$ w jakimś kierunku, a punkt $P$ z prędkością $w=const$ zawsze w kierunku punktu $A.$ Wówczas tor punktu $P$ to prosta krzywa pogoni.

Niech $k=\frac{v}{w}.$

Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k

Równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych

Niech $A_0=(0,0),P_0=(1,0)$ i $A$ porusza się wzdłuż osi $Y:$

$y(x)=\frac{1}{2}(\frac{1-x^{(1-k)}}{(1-k)}-\frac{1-x^{(1+k)}}{(1+k)})$ dla $k\ne 1$

$y(x)=\frac{1}{4}\cdot (x^2-\ln x^2-1)$ dla $k=1$

Wyprowadzenie

W dowolnym momencie „ścigany” znajduje się na stycznej do toru „ścigającego”, więc:

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{-x}{a-y},$

co prowadzi do równania różniczkowego:

$x+x^{\prime }(a-y)=0,$

gdzie $x>0.$

Z $a=vt$ wynika:

$\frac{x}{x^{\prime }}+vt=y,$

po zróżniczkowaniu po $y:$

$\dot{y}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{v\cdot x{\text{'}}^2}{x\cdot x^{″}}$

Dalej stosowany jest wzór na długość łuku:

$l=wt=k\underset{0}{\overset{y}{\int }}\sqrt{1+(x^{\prime }{)}^2}\mathrm{d}y.$

Z $\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2=w^2\mathrm{d}{t}^2$ wynika, że:

$\dot{y}=\frac{w}{\sqrt{1+x{\text{'}}^2}}$

Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po $x:$

$x^{″}-k\cdot \frac{x{\text{'}}^2}{x}\cdot \sqrt{1+x{\text{'}}^2}=0.$

Rozwiązanie po podstawieniu

$u=y^{\prime }=\frac{1}{x^{\prime }},x^{″}=\frac{-1}{u^3}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

prowadzi do:

$\frac{-\mathrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}}=k\cdot \frac{\mathrm{d}x}{x},$

po scałkowaniu:

$\mathrm{arsinh}u=k\cdot \ln x+C,$

a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z $C_1=e^C$ otrzymuje się:

$y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2}[(C_1\cdot x{)}^k-(C_1\cdot x{)}^{-k}].$

Ponownie całkuje się, ze stałą $C_2.$ Z warunku brzegowego:

${\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=0$

wynika $C_1=1,$ więc z

${y|}_{x=1}=0$

wynika:

$C_2=\frac{k}{1-k^2}$ względnie $C_2=-\frac{1}{4}$ dla $k=1,$

czyli:

$y(x)=\frac{1}{2}(\frac{x^{(1+k)}}{(1+k)}-\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{(1-k)}}{(1-k)}\\ \ln |x|\end{array}\right\})+\left\{\begin{array}{c}\frac{k}{1-k^2}\\ -\frac{1}{4}\end{array}\right\}\{\begin{array}{c}k\ne 1\\ k=1\end{array}$

skąd wynikają wzory podane na początku.

Wyrażenie zależności odwrotnej $x(y)$ nie jest możliwe w funkcjach elementarnych.

Zobacz też

• lista krzywych

Linki zewnętrzne

• Applet Javy symulujący pogoń Szablon:Lang
• Szablon:MathWorld