Krzywa drugiego stopnia

Krzywa drugiego stopnia – krzywa dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne $x,y,:$

$a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$

gdzie:

$a_{11},a_{22},a_{12},a_{13},a_{23},a_{33}\in ℝ,$

przy czym przynajmniej jeden ze współczynników $a_{11},a_{22},a_{12}$ musi być różny od zera.

W zależności od wartości współczynników $a_{ij}$ krzywa może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Każda krzywa drugiego stopnia jest pewną krzywą stożkową.

Niezmienniki

Dla krzywej danej równaniem 2 stopnia poszczególne współczynniki $a_{ij}$ zmieniają się przy zmianie układu współrzędnych. Jednak pewne wielkości zwane niezmiennikami są niezależne od wyboru ortonormalnego układu współrzędnych:

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{12}& a_{22}& a_{23}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right|$

$\delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}^2$

$S=a_{11}+a_{22}$

Klasyfikacja krzywych 2 stopnia

W oparciu o znaki niezmienników można przeprowadzić klasyfikację krzywych:

Wartości Δ, δ i S			krzywa	postać kanoniczna	uwagi
Krzywe środkowe δ≠0	δ>0	Δ•S<0	elipsa rzeczywista	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	dla $a=\pm b$ elipsa jest okręgiem
		Δ•S>0	elipsa urojona	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$
		Δ=0	para prostych urojonych z jednym punktem rzeczywistym	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$
	δ<0	Δ≠0	hiperbola	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
		Δ=0	para prostych przecinających się	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$
Krzywe paraboliczne δ=0 S≠0	Δ≠0		parabola	$x^2+2py=0$
	Δ=0	$a_{13}^2-a_{11}{a}_{33}>0$	para prostych równoległych	$x^2=a^2$	równoważnie można badać znak wyrażenia $a_{23}^2-a_{22}{a}_{33}$
		$a_{13}^2-a_{11}{a}_{33}=0$	para prostych pokrywających się	$x^2=0$
		$a_{13}^2-a_{11}{a}_{33}<0$	para prostych urojonych	$x^2=-a^2$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].
• Szablon:Otwarty dostęp Second-order curve Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].