Krzywa Kocha

Płatek Kocha

Krzywa Kocha – krzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie

Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904.

Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok).

Krok 0

Krok 1

Krok 2

Tworzenie krzywej Kocha

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność, dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0

Krzywa Kocha w kroku zerowym $(k=0)$ jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości $\frac{1}{3}l,$ nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1

Krzywa Kocha w kroku pierwszym $(k=1),$ po transformacji zawiera 4 odcinki, każdy równy $\frac{1}{3}l.$ W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielony na 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2

Krzywa Kocha w kroku drugim $(k=2)$ zawiera już 16 odcinków, każdy długości $\frac{1}{9}l.$ W kolejnym kroku $(k=3)$ powstanie 64 odcinków, każdy długości $\frac{1}{27}l$ itd.

Wymiar

Aby obliczyć wymiar pojemnościowy (Kołmogorowa) krzywej Kocha, należy rozpatrzyć $k$-ty krok konstrukcji. Wtedy istnieje $4^k$ odcinków, każdy długości $(\frac{1}{3}{)}^k=3^{-k},$ tak więc:

$d=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{k\to \mathrm{\infty }}\frac{\log \left(4^k\right)}{\log \left(\frac{1}{3^{-k}}\right)}=\frac{\log (4)}{\log (3)}\approx 1,26186$

Zobacz też

• lista krzywych

Bibliografia

• Jacek Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 2004.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Płatek śniegu – konstrukcja i opis