Kombinacja bez powtórzeń

Kombinacja bez powtórzeń – dowolny podzbiór zbioru skończonego. Jeśli zbiór jest $n$ -elementowy, $0 ⩽ k ⩽ n,$ to $k$ -elementowy podzbiór jest określany jako $k$ -elementowa kombinacja zbioru $n$ -elementowego^[1]. Używa się też terminu „kombinacja z $n$ elementów po $k$ elementów” lub po prostu „kombinacja z $n$ po $k$ ”.

Dopełnieniem kombinacji z $n$ po $k$ jest kombinacja z $n$ po $n - k .$

Liczba kombinacji z $n$ po $k$ wyraża się wzorem^[2] (patrz symbol Newtona):

C_{n}^{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Każda kombinacja $n$ po $k$ jest klasą abstrakcji wszystkich $k$ -wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego różniących się między sobą jedynie kolejnością elementów.

Kombinację $n$ po $k$ można interpretować jako ściśle rosnącą funkcję ${1, \dots k} \to {1, \dots, n} .$

Przykłady

Liczba kombinacji 2-elementowych zbioru 4-elementowego $A = {a, b, c, d}$ jest równa $\begin{matrix} \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 2} = 6 \end{matrix} .$
Kombinacjami są podzbiory: ${a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d} .$
Liczba kombinacji 6-elementowych zbioru 49-elementowego jest równa $(\binom{49}{6}) = \frac{49!}{6! \times (49 - 6)!} = 13 983 816 .$
Liczba wyników losowań w Lotto, w których dokładnie $k$ liczb spośród 6 (na 49) jest trafnych:

(\binom{6}{k}) \times (\binom{49 - 6}{6 - k}) .

Jest to bowiem iloczyn liczby kombinacji

(\binom{6}{k}),

tj. liczby sposobów, na które można trafić dokładnie

k

liczb spośród 6, oraz liczby kombinacji

(\binom{49 - 6}{6 - k}),

tj. liczby sposobów, na które można chybić pozostałe

6 - k

liczb. W szczególności:

liczba możliwych wyników z trafioną „szóstką”: $(\binom{6}{6}) \times (\binom{49 - 6}{6 - 6}) = 1,$
liczba możliwych wyników z trafioną „piątką”: $(\binom{6}{5}) \times (\binom{49 - 6}{6 - 5}) = 258,$
liczba możliwych wyników z trafioną „czwórką”: $(\binom{6}{4}) \times (\binom{49 - 6}{6 - 4}) = 15 \times 903 = 13 545,$
liczba możliwych wyników z trafioną „trójką”: $(\binom{6}{3}) \times (\binom{49 - 6}{6 - 3}) = 20 \times 12 341 = 246 820 .$

Z dwóch ostatnich przykładów łatwo ustalić prawdopodobieństwo trafienia „szóstki” Lotto:

\frac{1}{(\binom{49}{6})} = \frac{1}{13 983 816},

prawdopodobieństwo trafienia co najmniej „trójki”:

\frac{1}{(\binom{49}{6})} + \frac{258}{(\binom{49}{6})} + \frac{13 545}{(\binom{49}{6})} + \frac{246 820}{(\binom{49}{6})} = \frac{260 624}{13 983 816} \approx \frac{1}{54}

lub prawdopodobieństwo trafienia dokładnie „czwórki” i odpowiednio „trójki”:

\frac{13 545}{(\binom{49}{6})} = \frac{13 545}{13 983 816} \approx \frac{1}{1 032}

oraz

\frac{246 820}{(\binom{49}{6})} = \frac{246 820}{13 983 816} \approx \frac{1}{57} .

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Podzbiory zbioru skończonego (treść rozszerzona), Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-08-27].

Szablon:Kombinatoryka

Szablon:Kontrola autorytatywna

[1] Szablon:Encyklopedia PWN

[ross_md276-2] Szablon:Cytuj książkę

[1]

[2]

Kombinacja bez powtórzeń

Spis treści

Przykłady

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Kombinacja bez powtórzeń

Przykłady

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj