Kąt między dwiema krzywymi

Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich (f(x) i g(x)) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x₀. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:

$\mathrm{tg}\phi =\left|\frac{f^{\prime }(x_0)-g^{\prime }(x_0)}{1+f^{\prime }(x_0)g^{\prime }(x_0)}\right|$    dla    $1+f^{\prime }(x_0)g^{\prime }(x_0)\ne 0.$

Jeżeli

$1+f^{\prime }(x_0)g^{\prime }(x_0)=0⟹\phi =90^{\circ }.$

Wyprowadzenie wzoru

Mamy dane 2 dowolne funkcje f(x) oraz g(x) przecinające się w punkcie x₀ oraz różniczkowalne w tym punkcie. Wówczas przez punkt x₀ przechodzą styczne do obydwu wykresów, tworzące pewien kąt φ. Kąt nachylenia stycznej do f(x) nazwiemy β (kąt między styczną a osią OX), kąt nachylenia stycznej do g(x) nazwiemy α.

Styczne oraz oś OX tworzy trójkąt, w którym

$\alpha +(\pi -\beta )+\phi =\pi ,$

stąd mamy, że

$\phi =\beta -\alpha ,$

więc

$\mathrm{tg}\phi =\mathrm{tg}(\beta -\alpha ).$

Z prawej strony zastosujemy wzór na tangens różnicy kątów i otrzymujemy:

$\mathrm{tg}\phi =\left|\frac{\mathrm{tg}\beta -\mathrm{tg}\alpha }{1+\mathrm{tg}\beta \mathrm{tg}\alpha }\right|.$

Wiemy również, że

$\mathrm{tg}\beta =f^{\prime }(x_0)$ oraz $\mathrm{tg}\alpha =g^{\prime }(x_0).$

Podstawiając do wzoru, otrzymujemy

$\mathrm{tg}\phi =\left|\frac{f^{\prime }(x_0)-g^{\prime }(x_0)}{1+f^{\prime }(x_0)g^{\prime }(x_0)}\right|.$

Zobacz też

• kąt między dwiema prostymi