Jednokładność

Jednokładność, homotetia^[1] (gr. ὁμοίως + θέσεις = pokrewieństwo) o środku $r$ i niezerowej skali $k$ – odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni, określone następująco:

J_{r}^{k} (p) = q gdzie \vec{r q} = k \cdot \vec{r p} .

Z definicji w szczególności wynika, że:

J_{r}^{k} (r) = r .

Liczba $k$ nazywana jest także stosunkiem jednokładności.

Dla $k = 1$ jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla $k = - 1$ jednokładność jest symetrią środkową o środku $r .$ Każda jednokładność jest podobieństwem o skali $| k | .$ Dwie figury $F_{a}$ i $F_{b}$ są jednokładne, gdy istnieje punkt $r$ i niezerowa skala $k$ takie, że jednokładność przekształca figurę $F_{a}$ na figurę $F_{b} .$

Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładnościSzablon:Odn.

Zbiór jednokładności o wspólnym środku $r$ jest grupą, przy tym

złożenie jednokładności $J_{r}^{l} \circ J_{r}^{k}$ jest jednokładnością $J_{r}^{l \cdot k},$
jednokładnością odwrotną do $J_{r}^{k}$ jest $J_{r}^{1 / k},$
jednością grupy jest tożsamość $J_{r}^{1} .$

W przypadku złożenia dwóch jednokładności $J_{s}^{l}, J_{r}^{k}$ o dowolnych środkach zachodzą dwie możliwości:

jeśli $k \cdot l = 1,$ to $J_{s}^{l} \circ J_{r}^{k}$ jest translacją $T_{(1 - l) \vec{r s}}$ tzn. translacją o wektor $(1 - l) \vec{r s},$
jeśli $k \cdot l \neq 1,$ to $J_{s}^{l} \circ J_{r}^{k}$ jest jednokładnością $J_{r + \frac{1 - l}{1 - k l} \vec{r s}}^{k \cdot l} .$

Ponadto dla jednokładności $J_{r}^{k}, k \neq 1$ i translacji $T_{𝐯}$ o wektor $𝐯$ zachodzi:

złożenie $J_{r}^{k} \circ T_{𝐯}$ jest jednokładnością $J_{r + \frac{k}{1 - k} 𝐯}^{k},$
złożenie $T_{𝐯} \circ J_{r}^{k}$ jest jednokładnością $J_{r + \frac{1}{1 - k} 𝐯}^{k} .$