Indeks (teoria liczb)

Indeks – w teorii liczb – liczba odgrywająca w teorii kongruencji rolę analogiczną do roli logarytmów w arytmetyce i algebrze.

Definicja

Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, a $g$ jest pierwiastkiem pierwotnym modulo $p,$ to indeksem liczby naturalnej $a$ nazywana jest taka liczba $k=\mathrm{ind}a,$ że $a\equiv g^k(\mathrm{mod}p)$.

Własności

Dla liczb naturalnych $a,b$ oraz liczby pierwszej $p$

• $\mathrm{ind}ab\equiv \mathrm{ind}a+\mathrm{ind}b(\mathrm{mod}p-1),$
• $\mathrm{ind}\frac{a}{b}\equiv \mathrm{ind}a-\mathrm{ind}b(\mathrm{mod}p-1),$

gdzie przez $\frac{a}{b}$ należy rozumieć rozwiązanie kongruencji $bx\equiv a(\mathrm{mod}p)$Szablon:R.

• Indeks pozwala na rozwiązywanie kongruencji $a{x}^n\equiv b(\mathrm{mod}p)$ przez sprowadzenie jej do kongruencji liniowej $\mathrm{ind}a+n\mathrm{ind}x\equiv \mathrm{ind}b(\mathrm{mod}p-1)$Szablon:R.

• Pojęcie indeksu wprowadził C. F. Gauss w 1801 roku. W 1839 roku Carl Jacobi ułożył tablice indeksów dla wszystkich liczb pierwszych do 1000Szablon:R.