Homologie trwałe

Homologie trwałe – rozszerzenie teorii homologii symplicjalnych będące jednym z głównych narzędzi topologicznej analizy danych.

Definicja

Jeżeli

$\mathrm{\varnothing }=K_0\subseteq K_1\subseteq \cdots \subseteq K_n=K$

jest ciągiem kompleksów symplicjalnych, to włożenia $K_i\hookrightarrow K_j$ indukują homomorfizmy $f_p^{i,j}:H_p(K_i)\to H_p(K_j)$ grup homologii symplicjalnych dla każdego wymiaru $p.$ W tej sytuacji $p$-tymi grupami homologii trwałych $H_p^{i,j}$ są obrazy homomorfizmów $f_p^{i,j},$ tj. $H_p^{i,j}=\text{im}{f}_p^{i,j}$ dla $1⩽i⩽j⩽n.$ W szczególności grupa $H_p^{i,i}$ jest tożsama z $H_p(K_i)$.

Precyzyjniej, $H_p^{i,j}=Z_p(K_i)/(B_p(K_j)\cap Z_p(K_i)),$ gdzie $Z_p(K_i)$ oraz $B_p(K_j)$ są odpowiednio standardowymi podgrupami cykli oraz brzegów.