Funkcjonał monotonicznie ciągły

Funkcjonał monotonicznie ciągły – funkcjonał zachowujący punktową zbieżność monotonicznych ciągów funkcyjnych.

Definicja formalna

Niech $E$ będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał $\mu \in E^{\star }$ nazywamy monotonicznie ciągłym, jeśli dla każdego ciągu $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subset E$ spełniającego warunki:

1. $f_n⩽f_{n+1}$
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n=f$ (punktowo)

spełnione jest

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (f_n)=\mu (f).$

Twierdzenie

Funkcjonał $\mu \in E^{\star }$ jest monotonicznie ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu $f_n\uparrow 0$ spełnione jest $\mu (f_n)\to 0.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę