Funkcje lemniskaty

Funkcje lemniskaty – szczególny przykład funkcji eliptycznych, powstających przez odwrócenie całki eliptycznej

$z=\underset{0}{\overset{u}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}.$

Całki te pojawiły się po raz pierwszy przy obliczeniu długości łuku lemniskaty Bernoulliego w pracach G. Fagnano z 1715 roku. Funkcje lemniskaty wprowadził Carl Friedrich Gauss w 1797 roku.

Są dwie funkcje lemniskaty:

$u=\mathrm{coslemn}z=\mathrm{cl}z,$

$u=\mathrm{sinlemn}z=\mathrm{sl}z=\mathrm{cl}\left(\frac{\omega }{2}-z\right),$

gdzie:

$\frac{\omega }{2}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{\sqrt{2}}{8\sqrt{\pi }}{\left[\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\right]}^2$.