Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej – funkcja zespolona, której dziedziną jest podzbiór zbioru liczb zespolonych: $f:X\to ℂ,X\subseteq ℂ.$

Przyjmując $z=x+iy,$ gdzie $x,y\in ℝ,$ a $i$ jest jednostką urojoną, funkcję zespoloną zmiennej zespolonej $f(z)$ można przedstawić w postaci

$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),$

gdzie $u(x,y)$ i $v(x,y)$ są pewnymi funkcjami rzeczywistymi dwóch zmiennych rzeczywistych $x$ i $y.$ Funkcję $u(x,y)$ nazywamy wtedy częścią rzeczywistą funkcji $f(z),$ natomiast funkcję $v(x,y)$ częścią urojoną funkcji $f(z):$

$u(x,y)=\mathrm{re}f(z)=\mathrm{\Re }f(z),$

$v(x,y)=\mathrm{im}f(z)=\mathrm{\Im }f(z).$

Przykład

W przypadku funkcji

$f(z)=z^2$

jest

$f(z)=z^2=(x+iy{)}^2=x^2+2ixy-y^2=x^2-y^2+2ixy,$

zatem

$u(x,y)=x^2-y^2,$

$v(x,y)=2xy.$