Forma Killinga

Forma Killinga – symetryczna forma dwuliniowa, która odgrywa fundamentalną rolę w teorii grup Liego i algebr Liego. Nazwa pochodzi od Wilhelma Killinga.

Definicja

Rozważmy algebrę Liego nad polem skalarnym $K.$ Z każdym elementem $x$ algebry można powiązać sprzężony endomorfizm $ad(x)$ (zapisywany też symbolem $a{d}_x$), przypisujący danemu elementowi $y$ algebry wartość nawiasu Liego elementu $x$ elementem $y,$ tj.

$\mathrm{ad}(x)(y)=[x,y].$

Jeżeli grupa jest skończenie wymiarowa, to ślad złożenia dwóch endomorfizmów jest nazywany formą Killinga algebry Liego

$B(x,y)=\mathrm{trace}(\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(y)).$

Forma Killinga jest formą biliniową symetryczną.

Elementy macierzowe formy

Niech $T^j$ oznaczają elementy bazy algebry Liego. Wtedy elementy macierzowe formy Killinga są dane wzorem

$B^{ij}=\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{a}\mathrm{d}(T^i)\circ \mathrm{a}\mathrm{d}(T^j))/I_{ad},$

gdzie $I_{ad}$ – indeks Dynkina reprezentacji algebry sprzężonej. Przy czym mamy $(\text{ad}(T^i)\circ \text{ad}(T^j))(T^k)=[T^i,[T^j,T^k]]=[T^i,{f^{jk}}_m{T}^m]={f^{im}}_n{f^{jk}}_m{T}^n$

– w powyższym wzorze zastosowano konwencję sumacyjną Einsteina po powtarzających się indeksach; $f_k^{ik}$ – stałe struktury algebry Liego. Liczba $k$ indeksuje kolumny, zaś indeks $n$ indeksuje rzędy macierzy $[\mathrm{a}\mathrm{d}(T^i)\mathrm{a}\mathrm{d}(T^j)].$ Obliczenie śladu polega na sumowaniu wyrazów o indeksach $k=j$ dlatego forma przyjmuje postać

$B^{ij}=\frac{1}{I_{ad}}{f^{im}}_n{f^{jn}}_m.$

Forma Killinga jest najprostszym tensorem 2 rzędu, który można utworzyć ze stałych struktury.

Uwaga:

W powyższej definicji trzeba odróżnić indeksy dolne od górnych, ponieważ forma Killinga może być użyta do definicji tensora metrycznego rozmaitości, a wtedy istotne staje się to odróżnienie ze względy na inne reguły transformacji indeksu górnego od indeksu dolnego tensora.

Bibliografia

• Daniel Bump, Lie Groups (2004), Graduate Texts in Mathematics, 225, Springer-Verlag.
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992) Cambridge University Press.
• Szablon:Springer