Estymator regresyjny

Istota estymatora regresyjnego

Estymator regresyjny prosty i złożony to estymatory zgodne, ale obciążone. Obciążenie estymatora prostego maleje wraz ze wzrostem liczby $n_h$ losowań w warstwie. Natomiast w przypadku estymatora regresyjnego złożonego, obciążenie maleje wraz ze wzrostem liczebności próby. Przy próbie dużej $(n>100)$ obciążenie estymatora jest nieistotne.

Estymatory regresyjne są estymatorami wysoce efektywnymi, ale także i pracochłonnymi. Z tego powodu estymatory te stosuje się najczęściej w przypadku badania 2 zmiennych. Gdy liczba zmiennych jest większa (3 i więcej), stosuje się częściej estymatory ilorazowe, które są prostsze w obliczeniach.

Estymator regresyjny prosty

Estymatorem regresyjnym prostym nazywamy znaną wartość średniej arytmetycznej zmiennej pomocniczej w każdej warstwie.

Wyraża się go wzorem:

${\bar{y}}_{l(w)}=\sum \frac{N_h}{N}[\bar{y}+b_h\cdot ({\bar{X}}_h-{\bar{x}}_h)],$

gdzie:

$b_h=\frac{{\sum }_i({x_h}_i-{\bar{x}}_h)\cdot ({y_h}_i-{\bar{y}}_h)}{{\sum }_i({x_h}_i-{\bar{x}}_h{)}^2},$

${\bar{y}}_h$ – średnia z próby dla zmiennej $Y$ pochodzącej z $h$-tej warstwy,

${\bar{x}}_h$ – średnia z próby dla zmiennej $X$ pochodzącej z $h$-tej warstwy,

${\bar{X}}_h$ – średnia $h$-tej warstwy w populacji generalnej zmiennej dodatkowej $X.$

Estymator regresyjny złożony

Jeżeli nie jest znana średnia arytmetyczna zmiennej pomocniczej w każdej warstwie, a znana jest średnia arytmetyczna zmiennej pomocniczej w całej populacji, wówczas zastosowanie znajduje estymator regresyjny złożony.

Wyraża się go wzorem:

${\overline{y^{\prime }}}_{l(w)}={\bar{y}}_{(w)}+b\cdot (\bar{X}-{\bar{x}}_{(w)}),$

gdzie:

$b_h=\frac{{\sum _h}_i({x_h}_i-{\bar{x}}_h)\cdot ({y_h}_i-{\bar{y}}_h)}{{\sum _h}_i({x_h}_i-{\bar{x}}_h{)}^2},$

${\bar{y}}_{(w)}$ – estymator prosty zmiennej podstawowej $Y,$

${\bar{x}}_{(w)}$ – estymator prosty zmiennej pomocniczej $X.$

Zobacz też

• regresja