Elipsoida naprężeń Lamégo

Elipsoida naprężeń Lamégo – graficzna reprezentacja stanu naprężenia w pewnym punkcie ośrodka, alternatywna do koła Mohra. Elipsoida ta jest miejscem geometrycznym końców wektorów naprężenia ${𝐓}^{(𝐧)}.$ Jej pojęcie zostało wprowadzone przez Cauchy’ego i Lamego w okresie powstawania teorii sprężystości (około 1820–1830).

Konstrukcja

Wektor naprężenia ${𝐓}^{(𝐧)}$ (gdzie $𝐧$ jest wektorem normalnym) w dowolnym punkcie $P$ może być zapisany jako:

$T_1^{(𝐧)}={\sigma }_1{n}_1,T_2^{(𝐧)}={\sigma }_2{n}_2,T_3^{(𝐧)}={\sigma }_3{n}_3,$

gdzie ${\sigma }_1{n}_1,{\sigma }_2{n}_2,{\sigma }_3{n}_3$ – naprężenia główne.

Zgodnie z własnością wektora normalnego możemy napisać:

$n_1^2+n_2^2+n_3^2=1={\left(\frac{T_1}{{\sigma }_1^2}\right)}^2+{\left(\frac{T_2}{{\sigma }_2^2}\right)}^2+{\left(\frac{T_3}{{\sigma }_3^2}\right)}^2.$

Otrzymujemy równanie elipsoidy o środku zgodnym z zadanym układem współrzędnych i półosiach $\pm {\sigma }_1,\pm {\sigma }_2,\pm {\sigma }_3.$

Interpretacja

W odniesieniu do powstałej konstrukcji niezmienniki stanów naprężenia $I_1,$ $I_2,$ $I_3$ można interpretować następująco:

• $I_1$ – jest sumą trzech półosi elipsoidy naprężeń,
• $I_2$ – jest proporcjonalne do sumy pól trzech przekrojów głównych elipsoidy,
• $I_3$ – jest proporcjonalne do objętości elipsoidy.

Zobacz też

• elipsoida bezwładności
• koło Mohra