Ekscentryczność (fizyka)

Orbity keplerowskie: eliptyczna orbita o mimośrodzie 0,7 (czerwona), orbita paraboliczna (zielona) i hiperboliczna o mimośrodzie 1,3

Ekscentryczność (inaczej mimośród) – wielkość charakteryzująca kształt orbity, opisywanej równaniem parametrycznym krzywej stożkowej. Oznacza się ją symbolem $e.$ Najczęściej używana przy opisie toru ruchu ciała obiegającego drugie ciało pod wpływem siły grawitacji. W ogólności tor ruchu jest taki sam w polu każdej siły centralnej proporcjonalnej do odwrotności kwadratu odległości od centrum ($1/r^2;$ w szczególności siły elektrostatycznej).

Ekscentryczność orbity w polu siły grawitacji jest związana z energią całkowitą układu oddziałujących mas oraz z wartością całkowitego momentu pędu poprzez wzór:

$e=\sqrt{1+\frac{2E{L}^2}{\mu {\alpha }^2}},$

gdzie:

$E$ – energia całkowita,

$L$ – całkowity moment pędu.

Obie wielkości związane z ruchem względnym dwóch ciał (tzn. liczone w układzie odniesienia związanym z jedną z mas). Dla przyciągającej siły grawitacyjnej $\alpha =G{m}_1{m}_2,$ natomiast $\mu :\frac{1}{\mu }=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$ określa tzw. masę zredukowaną układu dwóch ciał.

W zależności od energii $E$ (przyjmuje się, że w nieskończoności energia potencjalna oddziaływania jest równa zeru) wówczas:

• $E=-\frac{\mu {\alpha }^2}{2L^2}$ – orbita kołowa, tzn. $e=0,$
• $E<0$ – orbita eliptyczna, tzn. $0<e<1,$
• $E=0$ – orbita paraboliczna, tzn. $e=1,$
• $E>0$ – orbita hiperboliczna, tzn. $e>1.$

Mimośród geometrycznie można określić też wzorem:

$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}},$

gdzie:

$b$ – półoś mała orbity,

$a$ – półoś wielka orbity,

przy czym:

$a=\frac{p}{1-e^2}=\frac{\alpha }{2|E|},$

$b=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}=\frac{L}{\sqrt{2\mu |E|}},$

gdzie:

$p=\frac{L^2}{\mu \alpha }=\frac{b^2}{a}.$

Można również ekscentryczność wyrazić jako iloraz odległości ogniska od środka elipsy przez długość półosi wielkiej orbity eliptycznej:

$e=\frac{c}{a}.$