Czynnik Bayesa

Czynnik Bayesa (BF, ang. Bayes factor) – stosunek prawdopodobieństwa uzyskania danych obserwacji w dwóch porównywanych modelach. Pozwala on na porównanie, w jakim stopniu dane świadczą na rzecz dwóch alternatywnych hipotez, i jest jedną z metod weryfikowania hipotez statystycznych we wnioskowaniu bayesowskim.

Definicja

Zakładając, że porównujemy dwa modele $M_1$ i $M_2$ (wraz z wektorami parametrów ${\theta }_1$ i ${\theta }_2$) na podstawie zbioru obserwacji $D,$ ich prawdopodobieństwo można porównać przy użyciu czynniku Bayesa $K:$

$K=\frac{\mathrm{Pr}(D|M_1)}{\mathrm{Pr}(D|M_2)}=\frac{\int \mathrm{Pr}({\theta }_1|M_1)\mathrm{Pr}(D|{\theta }_1,M_1)d{\theta }_1}{\int \mathrm{Pr}({\theta }_2|M_2)\mathrm{Pr}(D|{\theta }_2,M_2)d{\theta }_2}.$

Spotyka się też notację BF₁₀ i BF₀₁, odpowiadające czynnikom Bayesa testującym, odpowiednio, hipotezę alternatywną H₁, lub hipotezę zerową H₀, przeciwko sobie nawzajem, analogicznie do procedury częstościowej weryfikacji hipotez statystycznych.

Interpretacja

Wartości $K>1$ świadczą na rzecz hipotezy $M_1,$ wartości $K<1$ świadczą na rzecz hipotezy $M_2.$ Dla porównania, w podejściu częstościowym, testowana jest jedynie hipoteza zerowa, a o prawdziwości hipotezy alternatywnej można wnioskować jedynie pośrednio. Dwie popularne skale interpretacyjne dla wartości $K$ stworzyli Harold Jeffreys, oraz Hass i Raftery:

K (Jeffreys)	K (Hass i Raftery)	Siła dowodowa
< 1	< 1	negatywna (wspiera M2)
od 1 do 101/2 (≈3,16)	od 1 do 3	warta co najwyżej wzmianki
od 101/2 (≈3,16) do 10	od 3 do 20	znaczna
od 10 do 103/2 (≈31,62)	od 20 do 150	silna
od 103/2 (≈31,62) do 100	> 150	bardzo silna
>100		rozstrzygająca

Czynnik Bayesa jest adekwatny do zastosowań epistemologicznych – gdy badacz chce określić relatywne, subiektywne prawdopodobieństwo hipotezy. Do celów podejmowania decyzji służą inne narzędzia, uwzględniające koszt popełnienia błędów, takie jak metody statystyki częstościowej, lub metody bayesowskie z funkcjami strat.

Wartość czynnika Bayesa porównującego hipotezę zerową z hipotezą alternatywną jest w znacznym stopniu współzmienna z odpowiadającą mu P-wartością. Jego przewagą jest w tym przypadku dokładniejsze rozstrzyganie wartości dowodowej wyników, które są bliskie krytycznego poziomu istotności. Przy wysokiej mocy statystycznej badania, mogą być bardziej prawdopodobne dla hipotezy zerowej, jednak w procedurze wnioskowania częstościowego są uznawane za przesłankę na rzecz hipotezy alternatywnej. Czynnik Bayesa pozwala też na łatwe wykonywanie innych porównań, np. minimalnej istotnej klinicznie różnicy.