Ciało rozkładu wielomianu

Wielomian $x^2+1$ nie ma pierwiastków w ciele liczb rzeczywistych. Ciało rozkładu tego wielomianu otrzymuje się, rozszerzając wyjściowe ciało o jednostkę urojoną $i,$ ukazaną powyżej na płaszczyźnie zespolonej

Ciało rozkładu wielomianu – w teorii ciał rozszerzenie ciała o wszystkie pierwiastki pewnego wielomianuSzablon:Odn.

Definicja

Dla danego ciała $K$ i dla wielomianu $f$ dodatniego stopnia o współczynnikach z tego ciała (a więc należącego do pierścienia wielomianów tego ciała, $f\in K[x]$), który rozkłada się w większym ciele $L$ na iloczyn wielomianów liniowych $f=a_0\prod _{i=1}^n(x-a_i)$ ciałem rozkładu tegoż wielomianu jest ciało powstałe przez rozszerzenie wyjściowego ciała $K$ o wszystkie pierwiastki tegoż wielomianu $a_i,$ to znaczy $K(a_1,a_2,...,a_n).$ Tak skonstruowane ciało rozkładu wielomianu $f$ jest podciałem $L:$ $K(a_1,a_2,...,a_n)\subset L$Szablon:Odn.

Istnienie

Parabola będąca wykresem wielomian $f(x)=x^2-2x+5.$ Wykres nie przecina osi $0x,$ więc dla żadnej liczby rzeczywistej wielomian nie przyjmuje wartości $0$ – nie ma on pierwiastków w ciele liczb rzeczywistych i nie można go w nim rozłożyć na składowe. Można go natomiast rozłożyć w ciele liczb zespolonych stanowiących rozszerzenie liczb rzeczywistych, wtedy pierwiastkami są $x=1\pm 2i.$

Dyskusję ciał rozkładu wielomianu Jerzy Browkin zaczyna od rozważenia istnienia takich ciał w ogóle. Mianowicie powyższa definicja wymaga rozkładu rozpatrywanego wielomianu na wielomiany liniowe. Dowieść można, że każdy wielomian $f$ dodatniego stopnia należący do pierścienia wielomianów danego ciała $K[x]$ nierozkładalny w tym ciele można jednak rozłożyć na iloczyn wielomianów liniowych (a więc postaci $ax+b$) w innym ciele $L$ będącym rozszerzeniem ciała wyjściowego $K.$ By tego dowieźć, dowodzi się wpierw lematu stanowiącego, że dla każdego wielomianu $f\in K[x]$ dodatniego stopnia istnieje rozszerzenie $L$ ciała $K$ takie, że wielomian $f$ ma w tym ciele pierwiastek. A więc $\mathrm{\forall }f\in K[x]stf>0\Rightarrow \mathrm{\exists }L(K\subset L\wedge \mathrm{\exists }a\in Lf(a)=0)$Szablon:Odn.

Wielomian $f$ może być rozkładalny bądź nierozkładalny w ciele $K.$ Jeśli jest rozkładalny, to da się rozłożyć na wielomiany nierozkładalne. Każdy pierwiastek dowolnego z tych wielomianów nierozkładalnych stanowi już pierwiastek wielomianu $f.$ Tak więc w obu przypadkach dalsze rozumowanie sprowadza się do rozpatrzenia przypadku wielomianu nierozkładalnego. W pierścieniu wielomianów $K[x]$ wielomian $f$ tworzy ideał $I,$ który można oznaczyć także $(f).$ W przypadku wielomianu nierozkładalnego ideał ten będzie maksymalnySzablon:Odn (oznacza to, że ideał nie jest równy samemu pierścieniowi, do którego należySzablon:Odn, w tym wypadku $K[x],$Szablon:Odn, ale nie zawiera się w żadnym innym ideale niż sobie samym i samym pierścieniuSzablon:Odn). Dowodzi się, że pierścień ilorazowy utworzony przez podzielenie dowolnego wyjściowego pierścienia przez dowolny jego ideał maksymalny jest ciałemSzablon:Odn. Wobec tego także pierścień ilorazowy $K[x]/I$ powstały z podzielenia pierścienia wielomianów $K[x]$ przez jego ideał maksymalny $I$ będzie ciałem. Przyjąć można na jego oznaczenie $L=K[x]/I.$ Co więcej, będzie on zawierał podciało izomorficzne z wyjściowym ciałem $K.$ Należy dalej rozpatrzeć element $a=x+I$ wzięty z $K[x]/I.$ Po podstawieniu $a$ do wielomianu $f$ otrzymuje się $f(a)=f(x+I)=f(x)+I,$ to ostatnie zaś należy do ideału generowanego przez $f.$ Tak więc otrzymuje się tu element zerowy ciała $L,$ element ten stanowi wobec powyższego pierwiastek wielomianu $f$Szablon:Odn.

Idąc dalej tym samym tokiem myślenia, poprzez indukcję ze względu na stopień $f$ dochodzi się do wniosku, że istnieć musi takie rozszerzenie $K,$ które zawiera nie jeden, ale wszystkie pierwiastki $f.$ W takim wypadku wielomian $f$ rozłożyłby się w tym ciele na iloczyn wielomianów liniowych z tego ciała $f=a_0\prod _{i=1}^n(x-a_i).$ Mianowicie jako założenie indukcyjne wziąć należy, że jest tak dla wielomianów stopnia mniejszego od n. Dla wielomianów pierwszego stopnia teza ta jest już dowiedziona (mają bowiem jeden jedyny pierwiastek). Z powyższych rozważań wynika, że dla wielomianu $f\in K[x]$ o stopniu $n$ istnieje rozszerzenie $L$ ciała $K$ obejmujące pierwiastek $a$ tegoż wielomianu. Skoro tak, to w ciele $L$ wielomian $f$ rozłożyć można przynajmniej na 2 czynniki: $f(x)=(x-a)g(x),$ przy czym $g\in L[x].$ Jak widać, pierwszy z nich jest wielomianem liniowym, drugi natomiast jest wielomianem stopnia mniejszego od $n,$ co podpada po założenie indukcyjne. Stanowi ono, że ciało $L$ (z tego bowiem ciała wzięto wielomian $g$) ma rozszerzenie, można je oznaczyć $M,$ takie, że wielomian $g$ stopnia poniżej $n$ da się w nim rozłożyć na wielomiany liniowe. Ale także $a\in L,$ a więc i $a\in M,$ co oznacza, że wielomian liniowy $x-a\in M[x].$ Oba czynniki wielomianu $f$ należą do $M[x],$ co oznacza, że wielomian $f$ da się rozłożyć na czynniki liniowe, z których każdy należy do $M[x].$ Dowodzi to, że dla każdego wielomianu dodatniego stopnia z danego ciała ciało to ma rozszerzenie, w którym da się ów wielomian rozłożyć na czynniki linioweSzablon:Odn.

Oznacza to, że w przypadku dowolnego wielomianu $f$ dodatniego stopnia z pierścienia wielomianów dowolnego wyjściowego ciała $K$ istnieje rozszerzenie $K$ zawierające wszystkie jego pierwiastki. Rozszerzenie $K$ o te pierwiastki nazywa się właśnie ciałem rozkładu wielomianu $f$Szablon:Odn.

Należy jeszcze rozpatrzyć przypadek, kiedy to wielomian $f$ nie jest dodatniego, ale zerowego stopnia. Wielomian taki nie ma pierwiastków nienależących do ciała $K,$ wobec tego już samo $K$ stanowi ciało jego rozkładuSzablon:Odn.

Jedyność

Po udowodnieniu istnienia ciał rozkładu wielomianu rozważa się następnie jedyność takich ciał. Oczywiście ciało rozkładu wielomianu $f$ zależy nie tylko od postaci tegoż wielomianu, a więc od jego pierwiastków, przy których się on zeruje, ale również od wyjściowego ciała $K,$ z którego wzięte zostały współczynniki $f.$ Pojawia się jednak pytanie, czy po ustaleniu tego ciała $K$ może ono mieć kilka różnych rozszerzeń będących ciałami rozkładu $f,$ czy też może istnieć tylko jedno jedyne takie ciałoSzablon:Odn.

Rozważania na ten temat opierają się na badaniu rozszerzeń izomorfizmów. Okazuje się bowiem, że dowolny izomorfizm $\phi$ dwóch ciał, np. $K_1$ i $K_2,$ rozszerzyć można na izomorfizm $\bar{\phi }$ ich pierścieni wielomianów. Jeśli więc $K_1\stackrel{\phi }{\to }{K}_2,$ to $K_1[x]\stackrel{\bar{\phi }}{\to }{K}_2[x].$ Wziąć należy wielomian nierozkładalny $f_1$ z pierścienia $K[x]$ o pierwiastku $a_1$ należącym do rozszerzenia $L_1.$ Izomorfizm $\bar{\phi }$ będzie przekształcał ten wielomian na wielomian $f_2=\bar{\phi }{f}_1.$ Jak wynika z powyższych rozważań, i ten wielomian będzie miał pierwiastek, oznaczany przez $a_2$ i należący do pewnego rozszerzenia $K,$ oznaczanego przez $L_2.$ Oznacza to w dalszym ciągu istnienie dwóch ciał powstałych przez rozszerzenie $K$ o rzeczone dwa pierwiastki, mianowicie $K(a_1)$ i $K(a_2).$ Co więcej izomorfizm $\phi$ rozszerzyć można do kolejnego izomorfizmu ${\phi }^{\prime }$ przekształcającego pierwsze z tych rozszerzeń w to drugie: $K(a_1)\stackrel{{\phi }^{\prime }}{\to }K(a_2).$ Jako że izomorfizm zachowuje własności algebraiczne, przeto $f_2=\bar{\phi }{f}_1$ będzie w $K$ nierozkładalny. Dalej wziąć trzeba dwa $K_1$-izomorfizmy z pierścieni ilorazowych odpowiednich pierścieni wielomianów w odpowiednie rozszerzenia pojedyncze, mianowicie ${\phi }_1$ przekształcające $K_1[x]/(f_1)$ w $K_1(a_1),$ który dla $x+(f_1)$ przyjmuje wartość $a_1,$ oraz analogicznie ${\phi }_2:K_2[x]/(f_2)\to K_2(a_2)$ taki, że ${\phi }_2(x+(f_2))=a_2.$ Następnie z faktu, że $f_2=\bar{\phi }{f}_1,$ wnosi się, że izomorfizmowi pierścieni wielomianów $\bar{\phi }:K_1[x]\to K_2[x]$ odpowiada izomorfizm ich pierścieni ilorazowych ${\phi }^{\sim }:K_1[x]/(f_1)\to K_2[x]/(f_2).$ Rzeczony izomorfizm ${\phi }^{\sim },$ stanowiąc rozszerzenie $\phi ,$ po podstawieniu doń $x+(f_1)$ daje $x+(f_2).$ W końcu izomorfizm ${\phi }^{\prime }$ zdefiniowany jako ${\phi }^{\prime }={\phi }_2{\phi }^{\sim }{\phi }_1^{-}$ przekształca $K_1(a_1)$ w $K_2(a_2).$ W szczególności, przy wzięciu za $K_1$ i $K_2$ wyjściowego ciała $K,$ przekształca on jego rozszerzenia pojedyncze $K(a_1)\stackrel{{\phi }^{\prime }}{\to }K(a_2).$ Wysnuć stąd można wniosek, że skoro pierwiastki rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu $f$ można wzajemnie przekształcać w siebie izomorfizmami, pod względem właściwości algebraicznych nie różnią się one od siebieSzablon:Odn.

Następnie wykorzystuje się twierdzenie o rozszerzaniu izomorfizmu. Stanowi ono, że dla

• izomorfizmu $\phi$ przekształcającego ciało $K_1$ w ciało $K_2$
• odpowiadającego mu izomorfizmu $\bar{\phi }$ pierścieni wielomianów $K_1[x]$ w $K_2[x]$
• ciała $L_1$ rozkładu wielomianu $f_1$ z $K_1[x]$
• ciała $L_2$ rozkładu wielomianu $f_2$ z $K_2[x]$ otrzymywanego poprzez zadziałanie izomorfizmem $\bar{\phi }$ na wielomian $f_1$

można rozszerzyć $\phi$ do izomorfizmu $\psi ,$ który przekształcał będzie ciało $L_1$ w ciało $L_2$Szablon:Odn.

Browkin dowodzi tego twierdzenia, wykorzystując indukcję matematyczną po stopniu wielomianu $f.$ Mianowicie dla wielomianów stopnia zerowego ciała ich rozkładu są wyjściowymi ciałami, wobec czego szukanym izomorfizmem będzie po prostu wyjściowy izomorfizm $\phi .$ Sytuacja komplikuje się, gdy w grę wchodzą wielomiany wyższego stopnia. Założenie indukcyjne przyjmować będzie, że twierdzenie zachodzi dla wielomianów stopnia mniejszego od $n,$ wyprowadzić je zaś należy dla tegoż właśnie stopniaSzablon:Odn. Przyjmując rozkład wielomianów $f_1=a_0\prod _{i=1}^n(x-a_1)$ i analogicznie $f_2=b_0\prod _{i=1}^n(x-b_1)$Szablon:Odn (są tego samego stopnia, gdyż $f_2=\bar{\phi }{f}_2$Szablon:Odn), definiuje się $L_1$ jako $K_1$ rozszerzone o wszystkie $a_i$ od $1$ do $n$ z powyższego iloczynu, analogicznie definiuje się $L_2$ jako rozszerzenie $K_2$ o odpowiednie $b_i.$ Jednym z pierwiastków wielomianu $f_1$ jest $a_1.$ Wobec tego w rozkładzie $f_1$ występuje taki nierozkładalny wielomian $g_1,$ że znika on dla $a_1.$ Poddając tenże wielomian $g_1$ działaniu wcześniej określonego izomorfizmu $\bar{\phi }$ otrzymuje się wielomian $g_2,$ także nierozkładalny, i z kolei występujący w rozkładzie wielomianu $f_2.$ Ma on wobec tego swój pierwiastek wśrod $b_i$ od $1$ do $n,$ pierwiastek ten można oznaczyć dowolnie, dla prostoty na przykład $b_1.$ Wtedy dzięki rozumowaniu przedstawionemu wcześniej wnosi się o istnieniu izomorfizmu ${\phi }^{\prime },$ zdefiniowanego jak wyżej, a więc stanowiącego rozszerzenie wyjściowego izomorfizmu $\phi$ i takiego, że $K_1(a_1)\stackrel{{\phi }^{\prime }}{\to }{K}_2(b_1),$ a więc przyporządkowującemu pierwiastkowi $a_i$ pierwiastek $b_i.$ Pozwala to na rozłożenie wielomianów $f_1$ i $f_2$ na wielomian liniowy o pierwiastku $a_1$ czy $b_1$ oraz inny wielomian z pierścienia $K_1(a_1)[x]$ czy $K_2(b_1)[x]$ o stopniu mniejszym od $n$ (a więc do którego będzie się stosowało założenie indukcyjne), oznaczany na przykład odpowiednio $h_1$ i $h_2.$ Ponieważ $f_1$ jest izomorficzny do $f_2$ i jego czynnik $x-a_1$ jest izomorficzny do czynnika $x-b_1$ wielomianu $f_2,$ izomorficzne są również występujące w obu rozkładach wielomiany $h_1$ i $h_2.$ Wobec tego ciało $L_1$ traktować można jako ciało $K_1(a_1)$ rozszerzone następnie o wszystkie $a_i$ począwszy od $2$ aż do $n$ i tak samo ciało $L_2$ jako $(K_2(b_1))(b_2,...,b_n).$ W obu przypadkach są to ciała rozkładu wielomianów $h_i,$ a więc o stopniu od $n$ mniejszym. Dotyczy ich założenie indukcyjne, istnieje więc izomorfizm $\psi$ przekształcający pierwsze w drugie. Izomorficzne są też wyjściowe ciała $K_1(a_i)$ i $K_2(b_1).$ Wynika z tego, że izomorficzne muszą być w końcu także $L_1$ i $L_2.$ Dowodzi to twierdzenia o rozszerzaniu izomorfizmuSzablon:Odn.

Nic jednak w powyższym rozumowaniu nie wskazuje, jakoby ciała $K_1$ i $K_2$ musiały różnić się od siebie. Wprost przeciwnie, muszą być one izomorficzne. Każde wszak ciało jest izomorficzne ze sobą samym. Podstawić do twierdzenia można więc dwukrotnie to samo wyjściowe ciało $K.$ Nie wymaga również rzeczone rozumowanie, by $f_2$ i $f_1$ nie były tym samym wielomianem. Przyjąć bowiem można, że wiążący je izomorfizm jest identycznością. Po wprowadzeniu powyższych dwóch założeń otrzymuje się z dowiedzionego twierdzenia, że każde dwa ciała rozkładu tego samego wielomianu $f$ z pierścienia wielomianów tego samego ciała $K$ są $K$-izomorficzne. Inaczej mówiąc, są tożsame z dokładnością do izomorfizmuSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Splitting field of a polynomial Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].