Ciąg pokryć punktowo miałki

Ciąg pokryć punktowo miałki – dla danej przestrzeni topologicznej $X$ ciąg pokryć otwartych $({𝒲}_n{)}_{n<\omega }$ o tej własności, że dla każdego punktu $x$ przestrzeni $X$ rodzina $\{W_n:n<\omega \}$ jest bazą w punkcie $x,$ przy czym $W_n\in {𝒲}_n$ dla każdego $n.$

Innymi słowy, ciąg pokryć $\{W_n:n<\omega \}$ jest punktowo miałki wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $x$ przestrzeni $X$ i każdego otoczenia $U$ tego punktu istnieje taka liczba naturalna $n,$ że

$\text{Gw}(x,{𝒲}_n)\subseteq U$

(por. gwiazda zbioru). Często rozważanym wariantem tego pojęcia jest tzw. miałki ciąg pokryć – ciąg pokryć otwartych $W_n\in {𝒲}_n$ przestrzeni $X$ nazywany jest miałkim, gdy dla każdego punktu $x$ przestrzeni $X$ i każdego otoczenia $U$ tego punktu istnieje liczba naturalna $n$ i takie otoczenie $V$ punktu $x,$ że

$\text{Gw}(V,{𝒲}_n)\subseteq U.$

Każdy miałki ciąg pokryć jest również punktowo miałki. Pojęcia te pozwalają na zwięzłą wypowiedź wielu twierdzeń, głównie dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych jak np. kryterium Aleksandrowa, kryterium Binga czy twierdzenie Moore'a o metryzacji.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę