Całka J

Całka J przedstawia sposób opisu pola naprężeń, a dokładniej – stanu energetycznego w strefie czoła pęknięcia. Teoretyczne podstawy zostały opracowane w 1967 przez Cherepanowa i w 1968 przez Jima Rice’a niezależnie. Udowodnili, że całka J jest niezależna od drogi całkowania.

Dwuwymiarowa całka J

Łuk otwarty dla którego oblicza się wartość całki J

Dwuwymiarowa całka J była początkowo określana jako

$J:=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }(Wd{x}_2-𝐭\cdot \frac{\partial 𝐮}{\partial x_1}ds),$

gdzie $W(x_1,x_2)$ jest oznacza gęstość energii odkształcenia, $x_1,x_2$ oznaczają współrzędne układu, $𝐭=𝐧\cdot \mathit{\sigma }$ oznacza wektor sił powierzchniowych na krzywej $\mathrm{\Gamma }$ odpowiadającym jednostkowemu wektorowi $𝐧$ zewnętrznej normalnej do $\mathrm{\Gamma },$ $\sigma$ oznacza tensor naprężeń Cauchy’ego, a $𝐮$ wektor przemieszczenia. Gęstość energii odkształcenia jest dany przez

$W=\underset{0}{\overset{ϵ}{\int }}\mathit{\sigma }:d\mathit{ϵ};\mathit{ϵ}=\frac{1}{2}[\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T].$

Dla materiału liniowo-sprężystego, gęstość energii odkształcenia w punkcie upraszcza się do:

$W=\frac{1}{2}{\sigma }_{ij}{ϵ}_{ij}.$

Kontur zamknięty, na którym wartość całki J się zeruje

Całka J wokół czoła pęknięcia jest często wyrażana w bardziej ogólnej formie (w konwencji Einsteina) jako

$J_i:=\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_{ϵ}}(W{n}_i-n_j{\sigma }_{jk}\frac{\partial u_k}{\partial x_i})d\mathrm{\Gamma }$

gdzie $J_i$ oznacza składową całki J dla otwartej szczeliny w kierunku $x_i$ a $ϵ$ jest małym obszarem wokół czoła szczeliny.

Używając twierdzenia Greena, można pokazać, że całka przyjmuje wartość 0.

Zobacz też

• mechanika pękania