Całkowa nierówność Jensena

Całkowa nierówność Jensena jest użyteczną i bardzo ogólną relacją dotyczącą funkcji wypukłych, matematyka Johana Jensena, którego dowód podał w 1906 roku. Można go zapisać na dwa sposoby: dyskretny lub całkowy. Pojawia się w szczególności w analizie, teorii pomiaru i prawdopodobieństwie (twierdzenie Rao-Blackwella), ale także w fizyce statystycznej, mechanice kwantowej i teorii informacji (pod nazwą nierówność Gibbsa).

Definicja

Niech $f:ℝ\to ℝ$ będzie funkcją wypukłą, $U\subset {ℝ}^n$ będzie zbiorem o dodatniej mierze, oraz $u:U\to ℝ$ będzie funkcją całkowalną. Niech $|U|$ oznacza miarę zbioru $U.$ Wówczas zachodzi nierówność:

$\frac{1}{|U|}\underset{U}{\int }f(u)dx⩾f\left(\frac{1}{|U|}\underset{U}{\int }udx\right).$

Dowód

Ponieważ $f$ jest funkcją wypukłą, to na mocy twierdzenia o hiperpłaszczyźnie podpierającej:

Szablon:Wzór

Zatem podstawiając $p=\frac{1}{|U|}\underset{U}{\int }udx=u(\xi )$ oraz $q=u(x)$ nierówność w zdaniu Szablon:LinkWzór przekształca się do postaci:

$f(u)⩾f(u(\xi ))+r(u-u(\xi )).$

Następnie całkując stronami względem $x$ po zbiorze $U$ i na mocy zależności $\underset{U}{\int }dx=|U|$ oraz $\underset{U}{\int }udx=|U|u(\xi ):$

$\begin{array}{cc}& \underset{U}{\int }f(u)dx\\ ⩾& \underset{U}{\int }f(u(\xi ))dx+r\underset{U}{\int }udx-r\underset{U}{\int }u(\xi )dx\\ =& f(u(\xi ))|U|+r|U|u(\xi )-r|U|u(\xi )\\ =& f\left(\frac{1}{|U|}\underset{U}{\int }udx\right)|U|\end{array}$

Bibliografia

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.