Belka na podłożu sprężystym

Belka na podłożu sprężystym może stanowić model obliczeniowy dla takich elementów konstrukcyjnych jak szyny kolejowe i tramwajowe oraz ławy fundamentowe.

Wstęp

Belki takie o stałej sztywności giętnej $(E{J}_y\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t})$ mogą być obliczane na podstawie równania różniczkowego ich linii ugięcia $w(x)$ o postaciSzablon:R

$E{J}_y\frac{d^{4}w(x)}{d{x}^4}=q(x)-k(x)w(x),$ (a)

gdzie przez $k(x)\left[\frac{kG}{m^2}\right]$ oznaczono stałą charakteryzującą sprężystość podłoża. Taki model podłoża nazywany jest podłożem winklerowskim od nazwiska Winklera, który taki model zaproponowałSzablon:R.

Można wykazać, że rozwiązaniem ogólnym równania (a) jest funkcja

$\begin{array}{cc}w(x)& =e^{\alpha x}(A\sin \alpha x+B\cos \alpha x)\\ & +e^{-\alpha x}(C\sin \alpha x+D\cos \alpha x),\end{array}$ (b)

gdzie $\alpha =\sqrt[4]{\frac{k}{4E{J}_y}}\left[\frac{1}{\mathrm{m}}\right],$ przy czym stałe $A,B,C,D$ zostają określone przez warunki brzegowe zagadnienia.

Przykład liczbowy 1

Rozważmy belkę nieskończenie długą, którą może być np. szyna tramwajowa. Obciążeniem belki jest pionowa siła skupiona $P.$ Przyjmiemy układ współrzędnych $0xz$ w punkcie przyłożenia siły. W odległości nieskończonej możemy przyjąć, że

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }w(x)=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{w}^{\text{'}}(x)=0.$ (c)

Stąd na podstawie (c) otrzymujemy:

$A=B=0.$

Biorąc pod uwagę symetryczne działanie obciążenia, możemy przyjąć, że

$\underset{x\to 0+}{\lim }{w}^{\text{'}}(x)=0.$ (d)

Z symetrii wynika również, że odpór gruntu z prawej połowy belki musi być równy $\frac{P}{2}$ skąd

$Q(0+)=-\frac{P}{2}\to E{J}_y{w}^{{\text{'}}^{″}}(0+)=-\frac{P}{2}.$ (e)

Na podstawie (d) i (e) otrzymujemy

$C=D=\frac{P}{8E{J}_y{\alpha }^3.}$

Mamy więc dla $x>0$

$w(x)=\frac{P}{8E{J}_y{\alpha }^3}{e}^{-\alpha x}(\sin \alpha x+\cos \alpha x),$

$w^{\text{'}}(x)=\frac{P}{4E{J}_y{\alpha }^2}{e}^{-\alpha x}\sin \alpha x,$

$M_y(x)=\frac{P}{4\alpha }{e}^{-\alpha x}(\sin \alpha x-\cos \alpha x),$

$Q_z(x)=-\frac{P}{2}{e}^{-\alpha x}\cos \alpha x.$

Przykład liczbowy 2

Tę samą belkę co w przykładzie 1 obciążymy prawoskrętnym momentem skupionym $M$ przyłożonym w punkcie $x=0.$ Na podstawie (c) otrzymuje się $A=B=0.$ Biorąc pod uwagę symetrię geometrii układu i antysymetrię obciążenia względem osi $0z$ możemy przyjąć, że

$\underset{x\to 0+}{\lim }w(x)=0.$ (f)

skąd wynika, że $D=0.$

Mamy również

$M(0+)=\frac{M}{2}\to E{J}_y{w}^{{\text{'}}^{\prime }}(0+)=\frac{M}{2}.$ (g)

Na podstawie (f) i (g) otrzymuje się $C=-\frac{M}{4E{J}_y{\alpha }^2}.$ Mamy więc dla $x>0$

$w(x)=-\frac{M}{4E{J}_y{\alpha }^2}{e}^{-\alpha x}\sin \alpha x,$

$w(x{)}^{\text{'}}=\frac{M}{4E{J}_y\alpha }{e}^{-\alpha x}(\sin \alpha x-cos\alpha x),$

$M_y(x)=\frac{M}{2}{e}^{-\alpha x}\cos \alpha x,$

$Q_z(x)=-\frac{M\alpha }{2}{e}^{-\alpha x}(\sin \alpha x+\cos \alpha x).$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę
• Belka na podłożu sprężystym 2
• Belka na podłożu sprężystym 3
• Belka na podłożu sprężystym 4