0,(9)

Stylizowany perspektywą zbieżną zapis liczby 0,(9)

0,(9) (lub 0,999…) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość $0,(9)=1$ można udowodnić na kilka sposobów.

Dowody

Dowód 1.

Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka $\frac{1}{9}$ w postaci liczby dziesiętnej $0,(1).$ Z równości $\frac{1}{9}=0,(1)$ natychmiast wynika

$0,(9)=9\cdot 0,(1)=9\cdot \frac{1}{9}=1.$

Podobnie ułamek $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej $0,(3).$ Stąd

$0,(9)=3\cdot 0,(3)=3\cdot \frac{1}{3}=1.$

W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:

$0,(9)=0,(1)+0,(8)=\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1.$

Podobnie dla poniższych rozkładów

$0,(9)=0,(2)+0,(7)=0,(3)+0,(6)=0,(4)+0,(5)=0,(1)+0,(2)+0,(2)+0,(4)$  itd.

Dowód 2.

Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:

$\begin{array}{cc}x& =0,999\dots \\ 10x& =9,999\dots \\ 10x-x& =9,999\dots -0,999\dots \\ 9x& =9\\ x& =1.\end{array}$

Dowód 3.

Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

$0,(9)=0,9+0,09+0,009+0,0009+\dots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{9}{10^n}$

i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym $a_1=\frac{9}{10},q=\frac{1}{10},$ dostaniemy:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{9}{10^n}=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1.$

Uwagi

Uwaga 1.

Pierwszy dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej.

Dla ułamków postaci $\frac{c}{9},1⩽c<9$ zachodzi równość

$10\cdot \frac{c}{9}=c+\frac{c}{9},$

z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie $c_0=0,c_1=c_2=c_3=\dots ,$ tzn.

$\frac{1}{9}=0,(1),\frac{2}{9}=0,(2),\frac{3}{9}=0,(3),\dots \frac{8}{9}=0,(8).$

Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka $\frac{9}{9},$ stąd nieoczywista równość

$\frac{9}{9}=0,(9),$

którą należy wykazać.

Uwaga 2.

Dowód 2. jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem.

Uwaga 3.

Ściśle biorąc, dwa pierwsze dowody, chociaż bardzo intuicyjne, korzystają implicite z pewnych własności szeregów zbieżnych:

• jeśli $\sum _i{a}_i$ jest zbieżny, to $\sum _{i}k\cdot a_i$ też jest zbieżny oraz $\sum _{i}k\cdot a_i=k\cdot \sum _i{a}_i,$
• jeśli $\sum _i{a}_i,\sum _i{b}_i$ są zbieżne, to $\sum _i(a_i+b_i)$ też jest zbieżny oraz $\sum _i(a_i+b_i)=\sum _i{a}_i+\sum _i{b}_i.$

Zobacz też

• paradoksy Zenona z Elei

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Ułamek 0,(9), Uniwersytet Śląski w Katowicach (UŚ), math.us.edu.pl [dostęp 2024-11-29].