Średnia po stanach

Średnia po stanach – średnia zmiennych dynamicznych (wielkości mikroskopowych), obliczona po zespole statystycznym Gibbsa. W mechanice statystycznej tak obliczona średnia wielkości mikroskopowych odpowiada wielkości makroskopowej.

Obliczanie

Wielkość $A$ zależna jest od położeń i pędów $N$ cząstek. Skrótowy zapis $A(r,p)$ oznacza $A(\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\dots \overrightarrow{r_N};\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2},\dots \overrightarrow{p_N}).$ Z definicji średnia po stanach to:

$⟨A(r,p)⟩=\int d\mathrm{\Gamma }A(r,p)\rho (r,p),$

gdzie $\rho$ jest gęstością prawdopodobieństwa, a $\mathrm{\Gamma }$ oznacza miarę w 6N-wymiarowej przestrzeni fazowej. Miarę tę określa wzór:

$d\mathrm{\Gamma }=\frac{d\overrightarrow{r_1}d\overrightarrow{r_2}\dots d\overrightarrow{r_N}d\overrightarrow{p_1}d\overrightarrow{p_2}\dots d\overrightarrow{p_N}}{N!h^{3N}},$

gdzie czynnik $N!$ wynika z nierozróżnialności cząstek, a stała Plancka $h$ pojawia się jako konsekwencja zasady nieoznaczoności Heisenberga. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma własność:

$\int d\mathrm{\Gamma }\rho (r,p)=1.$

Zwykle w obliczeniach mechaniki statystycznej zakłada się, że średnia po stanach jest równa średniej czasowej z danej wielkości fizycznej. To założenie jest treścią tzw. hipotezy ergodycznej.