Średnia logarytmiczna różnica temperatur

Średnia logarytmiczna różnica temperatur (ang. akr. LMTD) jest wielkością używaną do określania siły napędowej wymiany ciepła w urządzeniach przepływowych, w szczególności w wymiennikach ciepła. LMTD jest średnią logarytmiczną różnic temperatur gorącego i zimnego strumienia na wlocie i wylocie wymiennika. Im wyższa wartość LMTD, tym intensywniejsza wymiana ciepła między strumieniami.

Definicja

Zakładając, że typowy wymiennik ciepła ma po dwa króćce po obydwu stronach swojej obudowy (po stronie A i po stronie B), którymi strumienie (gorący i zimny) wchodzą lub wychodzą z wymiennika, LMTD definiowana jako logarytmiczna średnia zgodnie z poniższym:

$LMTD=\frac{\mathrm{\Delta }{T}_A-\mathrm{\Delta }{T}_B}{\ln \left(\frac{\mathrm{\Delta }{T}_A}{\mathrm{\Delta }{T}_B}\right)},$

gdzie:

$\mathrm{\Delta }{T}_A$ – różnica temperatur pomiędzy strumieniami (gorącym i zimnym) po stronie A,

$\mathrm{\Delta }{T}_B$ – różnica temperatur pomiędzy strumieniami (gorącym i zimnym) po stronie B.

Za pomocą tej definicji LMTD może być wykorzystana do obliczenia strumienia ciepła przekazywanego w wymienniku:

$Q=U\times Ar\times LMTD,$

gdzie:

$Q$ – strumień ciepła (w watach),

$U$ – współczynnikiem przenikania ciepła,

$Ar$ – powierzchnia wymiany ciepła.

Powyższe zależności słuszne są zarówno dla przepływu współbieżnego w którym strumienie wchodzą z tej samej strony do wymiennika, jak i dla przepływu przeciwbieżnego w którym strumienie wchodzą do wymiennika z naprzeciwległych stron jego obudowy.

W przypadku przepływu krzyżowego powyższa zależność między strumieniem ciepła a LMTD jest słuszna po uwzględnieniu współczynnika korekcyjnego. Uwzględnienie współczynnika korekcyjnego niezbędne jest również w przypadku bardziej skomplikowanych geometrii, jak np. przy wymienniku płaszczowo-rurowym z przegrodami.

Wyprowadzenie wzoru

Zakładając, że transport ciepła odbywa się w wymienniku wzdłuż osi $z,$ od współrzędnej $A$ do $B,$ pomiędzy dwoma płynami oznaczonymi odpowiednio 1 i 2, których temperatury wzdłuż osi $z$ wynoszą $T_1(z)$ i $T_2(z).$

Ciepło wymienione lokalnie w $z$ jest proporcjonalne do różnicy temperatur:

$q(z)=U(T_2(z)-T_1(z))/D=U(\mathrm{\Delta }T(z))/D,$

gdzie $D$ jest długością krawędzi (w przekroju $z$) na której następuje wymiana ciepła między dwoma płynami

Przepływ ciepła między płynami powodowany jest gradientem temperatury zgodnie z prawem Fouriera:

$\frac{\mathrm{d}{T}_1}{\mathrm{d}z}=k_a(T_1(z)-T_2(z))=-k_a\mathrm{\Delta }T(z),$

$\frac{\mathrm{d}{T}_2}{\mathrm{d}z}=k_b(T_2(z)-T_1(z))=k_b\mathrm{\Delta }T(z).$

Sumując powyższe, otrzymamy:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Delta }T}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}(T_2-T_1)}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}{T}_2}{\mathrm{d}z}-\frac{\mathrm{d}{T}_1}{\mathrm{d}z}=K\mathrm{\Delta }T(z)$

gdzie $K=k_a+k_b.$

Całkowity strumień wymienianego ciepła wyznaczyć można, całkując ciepło wymieniane lokalnie $q$ w przedziale od $A$ do $B:$

$Q=\underset{A}{\overset{B}{\int }}q(z)dz=\frac{U}{D}\times \underset{A}{\overset{B}{\int }}\mathrm{\Delta }T(z)dz=\frac{U}{D}\times \underset{A}{\overset{B}{\int }}\mathrm{\Delta }Tdz.$

Uwzględniając, że powierzchnia wymiany ciepła wymiennika $Ar$ równa jest długości rury $A-B$ pomnożonej przez długość krawędzi przekroju $D:$

$Q=\frac{UAr}{(B-A)}\underset{A}{\overset{B}{\int }}\mathrm{\Delta }Tdz=\frac{UAr\underset{A}{\overset{B}{\int }}\mathrm{\Delta }Tdz}{\underset{A}{\overset{B}{\int }}dz}.$

Podmieniając w obydwu całkach zmienne $z$ na $\mathrm{\Delta }T,$ otrzymujemy:

$Q=\frac{UAr\underset{\mathrm{\Delta }T(A)}{\overset{\mathrm{\Delta }T(B)}{\int }}\mathrm{\Delta }T\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\mathrm{\Delta }T}d(\mathrm{\Delta }T)}{\underset{\mathrm{\Delta }T(A)}{\overset{\mathrm{\Delta }T(B)}{\int }}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\mathrm{\Delta }T}d(\mathrm{\Delta }T)}.$

Po podstawieniu wyprowadzonej wcześniej zależności na $\mathrm{\Delta }T$ otrzymamy:

$Q=\frac{UAr\underset{\mathrm{\Delta }T(A)}{\overset{\mathrm{\Delta }T(B)}{\int }}\frac{1}{K}d(\mathrm{\Delta }T)}{\underset{\mathrm{\Delta }T(A)}{\overset{\mathrm{\Delta }T(B)}{\int }}\frac{1}{K\mathrm{\Delta }T}d(\mathrm{\Delta }T)}.$

Całki w tej postaci da się łatwo rozwiązać, otrzymując znany nam wzór z definicji LMTD:

$Q=U\times Ar\times \frac{\mathrm{\Delta }T(B)-\mathrm{\Delta }T(A)}{\ln [\mathrm{\Delta }T(B)/\mathrm{\Delta }T(A)]}.$

Założenia i ograniczenia

• Zakłada się, że szybkość (tempo) zmian temperatury obydwu płynów jest proporcjonalne do różnicy ich temperatur. Założenie to jest słuszne dla płynów o stałym cieple właściwym, co z dobrym przybliżeniem ma miejsce w przypadku zmiany temperatury płynów w relatywnie małym zakresie. Jednakże im większe zmiany ciepła właściwego, tym podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się coraz mniej dokładne.

• Zakłada się również, że współczynnik przenikania ciepła $(U)$ jest stały, nie jest zaś funkcją temperatury. W przeciwnym wypadku podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się mniej dokładne.

• Przykładami, gdzie podejście LMTD nie jest odpowiednie mogą być skraplacze i reboilery z uwagi na ciepło utajone związane z zachodzącą przemianą fazową.

• LMTD jest z założenia koncepcją stanu ustalonego i nie może być używana w analizach dynamicznych. W szczególności, gdyby zastosować LMTD do stanu nieustalonego w którym przez krótki czas różniczki temperatury po dwóch stronach wymiennika ciepła posiadały by przeciwne znaki, argument logarytmu byłby ujemny co jest sprzeczne z definicją funkcji logarytmicznej.

Bibliografia

• Kay J.M., Nedderman R.M., Fluid Mechanics and Transfer Processes, Cambridge University Press, 1985.