Znak liczby

Znak liczby – relacja liczby rzeczywistej względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:

dodatni (liczba większa od 0),
zerowy,
ujemny (liczba mniejsza od 0).

Liczbę rzeczywistą o dodatnim znaku nazywa się liczbą dodatnią, o ujemnym znaku liczbą ujemną. Liczbę rzeczywistą niebędącą ujemną (większą lub równą 0) nazywa się nieujemną, a liczbę niebędącą dodatnią (mniejszą lub równą 0) nazywa się niedodatnią.

Znak liczby zaznacza się przed daną liczbą jako + albo −, np. −124,5.
Znak + często jest pomijany w zapisie.

Pewną formalizacją znaku liczby rzeczywistej jest funkcja signum.

Ciało uporządkowane

Pojęcie znaku można zdefiniować w każdym ciele uporządkowanym $(𝕂, +, \cdot, 0, 1, ⩽),$ tzn. takim ciele $(𝕂, +, \cdot, 0, 1),$ w którym jest określona relacja $⩽$ będąca porządkiem liniowym zgodnym z operacjami algebraicznymi:

jeśli $a ⩽ b,$ to $a + c ⩽ b + c,$
jeśli $0 ⩽ a$ i $0 ⩽ b,$ to $0 ⩽ a \cdot b .$

Innym sposobem definiowania porządku w ciele jest wskazanie zbioru (stożka) elementów dodatnich, tj. największego podzbioru niezerowych elementów, który jest zamknięty na dodawanie i mnożenie w ciele.

Przez analogię do liczb rzeczywistych, w ciałach uporządkowanych $(K, +, \cdot, 0, 1, ⩽)$ elementy $a \in K,$ dla których $a > 0$ nazywamy elementami dodatnimi.

Liczby zespolone

Niemożność określenia znaku liczby zespolonej o niezerowej części urojonej (na przykład liczby $5 + 4 i$ ) wynika z tego, że nie istnieje żaden porządek liniowy $⩽^{*}$ w $ℂ,$ który zgadzałby się ze strukturą algebraiczną ciała liczb zespolonych. Inaczej mówiąc, ciało liczb zespolonych nie jest ciałem uporządkowanym. Istotnie, w ciele uporządkowanym kwadrat każdego elementu jest nieujemny, tymczasem $i^{2} = - 1 < 0$ (gdzie $i$ jest jednostką urojoną).