Styczna

Konstrukcja stycznej do krzywej

Prosta styczna $s$ do krzywej $K$ w punkcie $P$ to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych $s_k$ przechodzących przez punkty $P$ i $P_k,$ gdy punkt $P_k$ dąży (zbliża się) do punktu $P$ po krzywej $K$.

Definicje i wzory

Niech punkt $Q$ będzie rzutem punktu $P$ na oś $x$ i niech styczna $s$ przecina oś $x$ w punkcie $R$ zaś prosta $n$ będąca normalną do krzywej $K$ przecina oś $x$ w punkcie $T.$ Odcinek skierowany $RQ$ nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany $|QT|$ – podnormalną. Długość $|PR|$ nazywa się długością stycznej, zaś $|PT|$ – długością normalnej.

Jeśli krzywa $K$ określona jest w pewnym przedziale $[a,b]$ funkcją $y=f(x)$ ciągłą, która ma w tym przedziale określoną pierwszą pochodną $f^{\prime },$ to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały $P(x_0,y_0),$ gdzie $y_0=f(x_0)$ oraz punkt zmienny $P(x_k,y_k),$ gdzie $y_k=f(x_k)$ ma postać:

$y-y_0=\frac{y_k-y_0}{x_k-x_0}(x-x_0),$

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie $P(x_0,y_0)$ ma postać:

$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$

Wówczas odcięte punktów $Q,R$ i $T$ są odpowiednio równe: :$x_0,x_0-\frac{y_0}{f^{\prime }(x_0)},x_0+y_0{f}^{\prime }(x_0).$

Długość stycznej określa wówczas wzór:

$|PR|=\left|\frac{y_0}{f^{\prime }(x_0)}\right|\sqrt{1+(f^{\prime }(x_0){)}^2},$

zaś długość normalnej:

$|PT|=\left|y_0\right|\sqrt{1+(f^{\prime }(x_0){)}^2}.$

Mamy również

• podstyczna: $|RQ|=\left|\frac{y_0}{f^{\prime }(x_0)}\right|,$
• podnormalna: $|QT|=|y_0{f}^{\prime }(x_0)|.$

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni w danym punkcie. Wystarczy wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą dany punkt.

Styczna do okręgu

W przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, definicja stycznej upraszcza się do postaci: styczna do okręgu jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem. Konstruuje się ją jako prostą prostopadłą do promienia o końcu w punkcie styczności.

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu

Odcinki AB i AC są równe

(również znane jako najmocniejsze twierdzenie geometrii)

Niech punkty $B$ i $C$ będą punktami styczności do okręgu $o$ dwóch prostych przecinających się w punkcie $A.$ Wówczas $|AB|=|AC|.$

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód (dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa $\pi ,$ kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od $\frac{\pi }{2}$ o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.

Zobacz też

• metoda stycznych
• wektor styczny do krzywej i powierzchni