Zasada Lagrange’a

Zasada Lagrange’a, także zasada prac wirtualnych lub zasada prac przygotowanych^[1] – podstawowe twierdzenie statyki dotyczące równowagi układu punktów materialnych. Mówi ona, że w położeniu równowagi dla dowolnego, małego i zgodnego z więzami przesunięcia punktów układu, suma prac wykonanych w układzie przy tym przesunięciu przez siły zewnętrzne jest zerowa.

W postaci matematycznej zasada wyrażona jest następująco: dany jest układ $N$ punktów materialnych. Położenie układu w przestrzeni konfiguracyjnej opisywane jest przez wektor $\vec{x}$ o współrzędnych $x_{j} (j = 1, 2, \dots, 3 N) .$

Składowe wypadkowej siły zewnętrznej działającej na układ oznaczmy przez $X_{j} (j = 1, 2, \dots, 3 N) .$

Dodatkowo ruch układu jest ograniczony przez więzy geometryczne opisywane przez $n$ równań

f_{k} (x, t) = 0, (k = 1, 2, \dots, n) .

W takiej sytuacji warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by pewien, spełniający równania więzów, punkt przestrzeni konfiguracyjnej był punktem równowagi układu, jest by w punkcie tym zachodziło:

δ W \equiv \sum_{j = 1}^{3 N} X_{j} δ x_{j} = 0

dla dowolnych liczb $δ x_{j}$ spełniających warunki:

\sum_{j = 1}^{3 N} \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}} δ x_{j} = 0, (k = 1, 2, \dots, n) .

Wielkość $δ W$ nosi nazwę pracy wirtualnej lub pracy przygotowanej a $δ x_{j}$ jest $j$ -tą składową w przestrzeni konfiguracyjnej przesunięcia wirtualnego.

Zasada Lagrange’a jest konsekwencją zasady d’Alemberta.