Twierdzenie o trzech ciągach

Twierdzenie o trzech ciągach – twierdzenie analizy matematycznej o zależnościach między ciągami zbieżnymi.

Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe jego sformułowanie jako „twierdzenia o milicjantach” (w czasie stanu wojennego w Polsce, nazwa ta funkcjonuje także w Rosji, zob. milicja w Rosji; dziś częściej mówi się o policjantach): jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz. We Włoszech twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”, we Francji zaś znane jest jako „twierdzenie o żandarmach”Szablon:Fakt.

Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich GaussSzablon:Fakt. Analogiczne twierdzenie dla funkcji znane jest jako twierdzenie o trzech funkcjachSzablon:Fakt.

Twierdzenie

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych: $a_n,b_n,c_n.$ Jeśli jednocześnie:

• dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich $n$ większych od pewnego wskaźnika $N,$ zachodzą nierówności $a_n⩽b_n⩽c_n;$
• ciągi $a_n,c_n$ zbiegają do tej samej granicy: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=g,$

to wtedy także ciąg $b_n$ do niej zbiega:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=g$.

Dowód

Niech dany będzie $\epsilon >0$ Zbieżność ciągów $a_n$ oraz $c_n$ oznacza, że można wskazać ${\delta }_1,{\delta }_2\in \mathbb{N},$ takie, że dla dowolnego $n>\delta =\max ({\delta }_1,{\delta }_2)$ zachodzą nierówności

$|a_n-g|<\epsilon$ oraz $|c_n-g|<\epsilon ,$

Skąd na podstawie własności wartości bezwzględnej

$-\epsilon <a_n-g$ oraz $c_n-g<\epsilon ,$

czyli

$g-\epsilon <a_n$ oraz $c_n<g+\epsilon .$

Na podstawie powyższych nierówności i z założeń twierdzenia dla dowolnego $n>\max (\delta ,N)$ zachodzi oszacowanie

$g-\epsilon <a_n⩽b_n⩽c_n<g+\epsilon ,$

które jest równoważne

$|b_n-g|<\epsilon ,$

co oznacza, że

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=g.$

Przykłady

• Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}=4.$

Otóż dla dowolnego $n$ zachodzą oszacowania

$\sqrt[n]{4^n}⩽\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}⩽\sqrt[n]{4^n+4^n+4^n}=\sqrt[n]{3\cdot 4^n}=4\sqrt[n]{3}.$

Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy $n\to \mathrm{\infty }$ daje

$\sqrt[n]{4^n}\to 4,$ gdyż $\sqrt[n]{4^n}$ jest ciągiem stałym równym $4$

oraz

$4\sqrt[n]{3}\to 4,$ gdyż $\sqrt[n]{a}\to 1$ dla $a>0,$

skąd na mocy twierdzenia również

$\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}\to 4.$

• Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą zbieżność do danej granicy także całego ciągu.

Zobacz też

• twierdzenie Toeplitza

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Twierdzenie o trzech ciągach, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
• Szablon:Otwarty dostęp Szymon Charzyński, Twierdzenie o trzech ciągach (funkcjach), kanał Khan Academy na YouTube, 22 marca 2014 [dostęp 2024-07-09].
• Szablon:Otwarty dostęp Twierdzenia o trzech i o dwóch ciągach, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2024-07-09].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-07-08].