Rozszerzenie Galois

Rozszerzenie Galois – rozszerzenie algebraiczne $𝕃$ danego ciała $𝕂$ takie, że istnieje grupa automorfizmów ciała $𝕃,$ ze względu na którą $𝕂$ jest ciałem elementów stałych.

Definicja

Rozszerzeniem Galois danego ciała $𝕂$ nazywa się takie rozszerzenie algebraiczne $𝕃$ ciała $𝕂$ takie, że istnieje grupa $𝔾$ automorfizmów ciała $𝕃$ taka, że: $𝕂={𝕃}^{𝔾}$Szablon:Odn, gdzie ${𝕃}^{𝔾}:=\{k\in 𝕃:{\mathrm{\forall }}_{g\in 𝔾}g(k)=k\}$Szablon:Odn.

Własności

Dane rozszerzenie algebraiczne ciała $𝕂$ jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem normalnym i rozdzielczymSzablon:Odn.

Dowód

„$⟹$”

Sprawdźmy, że rozszerzenie Galois musi być normalne i rozdzielcze. Skoro jest to rozszerzenie Galois, to z definicji istnieje grupa $𝔾$ automorfizmów ciała $𝕃,$ dla której $𝕂$ jest ciałem elementów stałych, tzn. ${𝕃}^{𝔾}=𝕂.$ Ustalmy $a\in 𝕃$ oraz nierozkładalny wielomian $f$ z pierścienia $𝕂\mathbb{[}𝕩\mathbb{]}$ taki, że $f(a)=0.$ Udowodnimy następnie, że $f$ stanowi iloczyn czynników liniowych należących do $𝕃[x],$ ale nie do $𝕂[x].$ Weźmy dowolny endomorfizm $\phi \in 𝔾$ i zauważmy, że wielomian $f$ przyjmuje w punkcie $\phi (a)$ wartość $0$ (jest tak, ponieważ $f(\phi (a))=\phi (f(a))=\phi (0)=0$). Tak więc $\phi (a)$ jest pierwiastkiem wielomianu $f,$ a zbiór $\{\phi (a):\phi \in 𝔾\}$ jest skończony. To znaczy, że dla danego $a$ istnieć może jedynie skończona liczba różnych $\phi (a)$ pomimo dowolnie wybieranych endomorfizmów. Oznaczmy te elementy jako ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n.$ Zauważmy, że dowolny automorfizm $\phi \in 𝔾$ przekształca dowolny zbiór skończony w siebie, w szczególności: $\{{\phi }_i(a){\}}_{i=1}^n=\{\phi ({\phi }_i(a)){\}}_{i=1}^n.$ Niech będzie dany wielomian $g(x)=\prod _{j=1}^n(x-{\phi }_j(a)),$ wtedy $\phi (g(x))=\prod _{j=1}^n(x-\phi ({\phi }_j(a))).$ Ponieważ wspomniane dwa zbiory są równe, to każdy z tych wielomianów składa się z dokładnie tych samych czynników (różniących się tylko kolejnością), a stąd wynika równość wielomianów: $\phi (g)=g.$ Tak więc dowolnie wybrany automorfizm $\phi$ nie zmienia wielomianu $g.$ Wobec tego współczynniki tego wielomianu należą do ciała ${𝕃}^{𝔾}.$ Sam wielomian $g$ należy w takim razie do pierścienia $𝕂[x].$ Wybrano go tak, że ma on wyłącznie pierwiastki jednokrotne i to będące zarazem pierwiastkami $f.$ Wynika stąd, że wielomian $g$ dzieli wielomian $f.$ Nierozkładalny wielomian $f$ musi być więc równy iloczynowi wielomianu $g$ oraz pewnego niezerowego elementu ciała $𝕂.$ Stąd wnioskujemy, że $f$ stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia $𝕃[x]$Szablon:Odn.

„$⟸$”

Udowodnimy, że rozszerzenie normalne i rozdzielcze jest rozszerzeniem Galois. Z założenia, dla $a\in 𝕃$ wielomian $f\in 𝕂[x],$ dla którego $a$ jest pierwiastkiem, stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia $𝕃[x].$ Niech $a\in ̸𝕂.$ Wtedy rozpatrywany wielomian $f$ jest stopnia silnie większego od 1, wobec czego posiada on jeszcze jeden inny pierwiastek $b\in 𝕃.$ Musi więc istnieć homomorfizm pomiędzy rozszerzeniami $\phi :𝕂(a)\to 𝕂(b)$ przekształcający $a$ w $b,$ będący $𝕂$-izomorfizmem. Da się go rozszerzyć do $𝕂$-izomorfizmu $\psi :\text{alg}(𝕂)\to \text{alg}(𝕂),$ gdzie $\text{alg}(𝕂)$ jest zbiorem wszystkich elementów algebraicznych względem ciała $𝕂.$ Izomorfizm ten przekształca ciało $𝕃$ na siebie (stanowi jego $𝕂$-automorfizm), a restrykcja $\psi {|}_{𝕃}\in \text{Gal}\mathbb{(}𝕃/𝕂\mathbb{)}.$ W dalszym ciągu przekształca on $a$ w różne od niego $b.$ Wynika stąd, że dowolny element należący do $𝕃,$ ale nie do $𝕂$ nie jest zachowywany przez wszystkie automorfizmy grupy $\text{Gal}\mathbb{(}𝕃/𝕂\mathbb{)}.$ Inaczej mówiąc, ${𝕃}^{\mathrm{Gal}\mathbb{(}𝕃/𝕂\mathbb{)}}=𝕂.$ q.e.d.Szablon:Odn

Wynika stąd także, że w przypadku ciała doskonałego jego rozszerzenie jest normalne wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem Galois. Z kolei dane ciało posiada swoje skończone rozszerzenie Galois wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenie to będzie ciałem rozkładu dla pewnego wielomianu o współczynnikach z wyjściowego ciała, posiadającego pierwiastki jednokrotne. Ten ostatni wniosek wynika z tego, że rozszerzenia o podanych właściwościach muszą być skończone, normalne i rozdzielczeSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę