Wielkość (arytmetyka odcinków)

Jedna z konstrukcji arytmetyki odcinków; fragment oryginalnej pracy Kartezjusza (1637)

Wielkość (wielkość geometryczna) – archaiczne pojęcie matematyczne, stanowiące w XVII-wiecznej arytmetyce odcinków pomost pomiędzy geometrią a algebrą.

W matematyce od czasów starożytnych (np. Elementy Euklidesa) aż do XVIII wieku (np. Geometria Kartezjusza) algebra była ściśle związana z interpretacją geometrycznąSzablon:Odn, co spowalniało rozwój algebrySzablon:Odn. Dla ówczesnych matematyków rozwiązaniami równań były odcinki, a własności algebraiczne były dowodzone poprzez odpowiednie konstrukcje geometryczneSzablon:Odn. Ujęcie to sformalizował Kartezjusz w Geometrii, definiując arytmetykę odcinkówSzablon:Odn.

W matematyce starożytnej słowo wielkość (μεγενος) oznaczało zarówno: odcinek, figurę, bryłę oraz kątSzablon:Odn.

W matematyce XVII-wiecznej wielkość (quantité) była pojęciem pomiędzy geometrią a algebrą. Wielkość w ujęciu arytmetyki odcinków oznaczała odcinek, ale oprócz tego wielkość mogła być rozwiązaniem równania wielomianowegoSzablon:Odn. Stąd rozwiązaniami równań nie były liczby ani długości odcinków, lecz odcinki rozumiane jako wielkościSzablon:Odn. Jednak, oprócz najbardziej klasycznego rozumienia wielkości jako odcinka, równorzędnie występowały również pojęcia takie jak np. wielkość powierzchni, wielkość kątówSzablon:Odn.

Takie ujęcie wielkości (jako odcinka) przyczyniło się do wprowadzenia nowych oznaczeńSzablon:Odn. Podczas gdy zwykłe odcinki już od czasów starożytnych oznaczano dwiema dużymi literami, np. $AB,$ $CD,$ odcinki będące wielkościami oznaczano małymi literami początku alfabetu, np. $a,$ $b,$ gdy były „znane”, oraz końca alfabetu, np. $x,$ $y,$ gdy były „nieznane”Szablon:Odn.

Np. w Geometrii Kartezjusza niewiadoma $x$ równania algebraicznego jest nazywana wielkością $x$, co zgadza się z założeniem, że rozwiązaniem problemu jest odcinekSzablon:Odn.

Wartość wielkości

René Descartes (w Geometrii) wprowadził również pojęcie wartości wielkości, którego używa w kontekście rozwiązywania równańSzablon:Odn. Definiuje je następująco: Szablon:Cytat

Ujemne wielkości

Fragment oryginalnej pracy Wallisa (1685), w którym wyjaśniana jest natura liczb ujemnych

Ponieważ ówczesne rozumienie liczby nie dopuszczało liczb ujemnych (wielkość była odcinkiem, a odcinek nie może mieć ujemnej długości, zatem niewiadomej $x$ nie może być przypisana wartość ujemna), a ujemne wielkości pojawiały się w obliczeniach matematycznych, Kartezjusz musiał podjąć specjalne zabiegi językoweSzablon:OdnSzablon:Odn. Wprowadził pojęcie fałszywego pierwiastkaSzablon:Odn. Szablon:Cytat

Interpretacja wielkości jako odcinka, a czasem także figury płaskiej, bryły i kąta, stanowiła problem w zrozumieniu liczb ujemnychSzablon:Odn. Arytmetyka odcinków Kartezjusza stanowiła istotny krok w uwalnianiu się od tej interpretacji, sprowadzając operacje na różnych wielkościach (w ujęciu antycznym) do operacji na odcinkach (wielkościach w ujęciu Kartezjusza)Szablon:Odn, a pojęcie fałszywego pierwiastka było początkiem pojmowania liczb ujemnych przez matematyków.

Jednak przełomu w pokonywaniu trudności związanych z pojęciem wielkości ujemnych dokonał dopiero John Wallis w dziele Treatise of Algebra (1685)Szablon:Odn.

Wallis do zobrazowania swojego rozumowania posłużył się osią liczbową (w cytacie powyżej znajduje się skan rysunku z oryginalnej pracy Wallisa z 1685). Fragment ten jest cenny również dlatego, że zawiera prawdopodobnie pierwsze w historii matematyki przedstawienie osi liczbowejSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę