Wektor styczny

Błąd przy generowaniu miniatury:

Linia styczna do krzywej w punkcie oznaczonym czerwoną kropką. Wszystkie wektory styczne do krzywej w tym punkcie leżą na tej prostej, tworząc przestrzeń styczną 1-wymiarową.

Plik:Image Tangent-plane.svg

Płaszczyzna styczna do powierzchni sferycznej. Wszystkie wektory styczne do tej powierzchni w danym punkcie leżą na tej płaszczyźnie, tworząc przestrzeń styczną 2-wymiarową.

Wektor styczny to wektor o kierunku wyznaczonym przez styczną do:

• krzywej,
• powierzchni,
• hiperpowierzchni,
  

poprowadzoną w danym punkcie przestrzeni euklidesowej w ogólności n-wymiarowej. Wektory styczne w sposób analityczny opisuje geometria różniczkowa.

W ogólniejszym kontekście wektory styczne są elementami przestrzeni stycznej, jaką można zdefiniować dla każdego punktu rozmaitości różniczkowej (euklidesowej, pseudoeuklidesowej, riemannowskiej, pseudoriemannowskiej).

• Dla linii krzywej wektory te należą do prostej stycznej do tej krzywej w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 1-wymiarową.
• Dla powierzchni 2D wektory te leżą na płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 2-wymiarową.
• Dla hiperpowierzchni (N-1)-wymiarowej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej N-wymiarowej, wektory styczne leżą na tej stycznej hiperpowierzchni euklidesowej (N-1)-wymiarowej i tworzą przestrzeń styczną (N-1)-wymiarową.

Wektory styczne do powierzchni 2D

(1) Dwuwymiarową powierzchnię $H$ można opisać za pomocą dwóch niezależnych od siebie parametrów $u,v$

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}\end{array},\overrightarrow{r}(x,y,z)=\overrightarrow{r}(u,v).$

Parametry te określają siatkę współrzędnych krzywoliniowych na powierzchni $H.$

(2) Istnieją dwa szczególne wektory styczne ${\overrightarrow{s}}_u$ oraz ${\overrightarrow{s}}_v$ do powierzchni $H$ – są to wektory styczne odpowiednio do krzywych $v=\text{const}=v_0$ oraz $u=\text{const}=u_0,$ przecinających się punkcie $P$ o wektorze wodzącym $\overrightarrow{r}(u_0,v_0).$

Współrzędne wektorów ${\overrightarrow{s}}_u,{\overrightarrow{s}}_v$ oblicza się jako pochodne funkcji $x,y,z$ względem parametrów $u$ oraz $v:$

${\overrightarrow{s}}_u={[\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u}]}_{u=u_0,v=v_0},$

${\overrightarrow{s}}_v={[\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v}]}_{u=u_0,v=v_0},$

gdzie $u_0,v_0$ to wartości parametrów $u,v$ wyznaczające punkt $P(x_0,y_0,z_0),$ czyli:

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_0=x(u_0,v_0)\\ y_0=y(u_0,v_0)\\ z_0=z(u_0,v_0)\end{array}\end{array}.$

(3) W skrócie wektory te można zapisać następująco:

${\overrightarrow{s}}_u=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u}{|}_{u=u_0,v=v_0},$

${\overrightarrow{s}}_v=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v}{|}_{u=u_0,v=v_0},$

gdzie $\overrightarrow{r}(u,v)=\overrightarrow{r}[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]$ jest wektorem wodzącym punktu $P$ na powierzchni $H.$

(4) Dowolny wektor styczny $\overrightarrow{s}$ do powierzchni $H$ w jej punkcie $P(x_0,y_0,z_0)$ wyraża się w postaci pewnej kombinacji liniowej wektorów stycznych ${\overrightarrow{s}}_u$ oraz ${\overrightarrow{s}}_v,$ tj.

$\overrightarrow{s}=a_u{\overrightarrow{s}}_u+a_v{\overrightarrow{s}}_v,$

gdzie $a_u,a_v\in R.$

Wektory ${\overrightarrow{s}}_u$ oraz ${\overrightarrow{s}}_v$ stanowią więc bazę płaszczyzny stycznej do powierzchni danej równaniem

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{r}(u_0,v_0)+a_u{\overrightarrow{s}}_u+a_v{\overrightarrow{s}}_v.$

Przykład: Wektory styczne do sfery

Dla sfery o promieniu $r$ można wprowadzić parametryzację za pomocą kątów $\varphi ,\theta$ współrzędnych sferycznych.

(1) Współrzędne kartezjańskie $x,y,z$ są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami

$x=r\sin \theta \cos \varphi ,$

$y=r\sin \theta \sin \varphi ,$

$z=r\cos \theta .$

(2) Wektory styczne mają postać:

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{s}}_{\theta }& =\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }=[\frac{\partial x}{\partial \theta },\frac{\partial y}{\partial \theta },\frac{\partial z}{\partial \theta }]\\ [2px]& =[r\cos \theta \cos \varphi ,r\cos \theta \sin \varphi ,-r\sin \theta ],\\ {\overrightarrow{s}}_{\varphi }& =\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \varphi }=[\frac{\partial x}{\partial \varphi },\frac{\partial y}{\partial \varphi },\frac{\partial z}{\partial \varphi }]\\ [2px]& =[-r\sin \theta \sin \varphi ,r\sin \theta \cos \varphi ,0].\end{array}$

(3) Dowolny wektor styczny do sfery w punkcie $P(\theta ,\varphi )$ wyraża się w postaci kombinacji liniowej wektorów stycznych ${\overrightarrow{s}}_{\theta }$ oraz ${\overrightarrow{s}}_{\varphi },$ tj.

$\overrightarrow{s}(\theta ,\varphi )=a_{\theta }{\overrightarrow{s}}_{\theta }+a_{\varphi }{\overrightarrow{s}}_{\varphi }.$

Np. dla $\theta =\pi /2,$ $\varphi =0$ mamy punkt $P(x_0,y_0,z_0)=[r,0,0]$ leżący na osi $x$ układu współrzędnych oraz wektory bazowe styczne

${\overrightarrow{s}}_{\theta }=[0,0,-r],$

${\overrightarrow{s}}_{\varphi }=[0,r,0]$

i wektory styczne mają postać

$\overrightarrow{s}=a_{\theta }{\overrightarrow{s}}_{\theta }+a_{\varphi }{\overrightarrow{s}}_{\varphi }=a_{\theta }[0,0,-r]+a_{\varphi }[0,r,0].$

(4) Wektory te wyznaczają płaszczyznę styczną do sfery o promieniu $r$ w punkcie $\theta =\pi /2,$ $\varphi =0$ i równaniu

$\overrightarrow{R}=P(x_0,y_0,z_0)+a_{\theta }{\overrightarrow{s}}_{\theta }+a_{\varphi }{\overrightarrow{s}}_{\varphi }=r[1,a_{\varphi },-a_{\theta }].$

Widać, że płaszczyzna ta ma stałą współrzędną $x$-ową równą $r$ i jest równoległa do płaszczyzny pionowej $yz.$

Wektor styczny do krzywej w $R^3$

Krzywą w przestrzeni $R^3$ można opisać za pomocą jednego parametru $u$

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=x(u)\\ y=y(u)\\ z=z(u)\end{array}\end{array}.$

(Analogiczne zależności są słuszne dla krzywej w przestrzeni n-wymiarowej).

Parametr $u$ wyznacza linię współrzędnej krzywoliniowej w przestrzeni $R^3.$ Wektor styczny ${\overrightarrow{s}}_u$ do krzywej w danym punkcie $P(x_0,y_0,z_0)$ otrzymuje się, obliczając pochodne funkcji $x,y,z$ względem parametru $u:$

${\overrightarrow{s}}_u={[\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u}]}_{u=u_0},$

gdzie $u_0$ to wartości parametru $u$ wyznaczające punkt $P(x_0,y_0,z_0),$ czyli:

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_0=x(u_0)\\ y_0=y(u_0)\\ z_0=z(u_0)\end{array}\end{array}.$

W skrócie wektor styczny można zapisać następująco:

${\overrightarrow{s}}_u=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u}{|}_{u=u_0},$

gdzie $\overrightarrow{r}(u)=(x(u),y(u),z(u))$ jest wektorem wodzącym punktu $P$ krzywej.

Wektor ten wyznacza prostą styczną do krzywej w punkcie $P(x_0,y_0,z_0)$ o równaniu

$\overrightarrow{R}=P(x_0,y_0,z_0)+a_u{\overrightarrow{s}}_u,$

gdzie $a_u\in R.$

Przykład: Wektor styczny do krzywej w $R^3$

Krzywa w przestrzeni $R^3$ dana jest równaniem parametrycznym

$\overrightarrow{r}(u)=[1+u^2,e^{2u},\cos u],$ $u\in R,$

Wektor styczny o długości jednostkowej dla $u=0$ ma postać $\overrightarrow{s}(0)={\frac{\frac{d\overrightarrow{r}}{du}}{|\frac{d\overrightarrow{r}}{du}|}|}_{u=0}={\frac{[2u,2e^{2u},-\sin u]}{\sqrt{4u^2+4e^{4u}+{\sin }^{2}u}}|}_{u=0}=[0,1,0].$

Wektor ten wyznacza kierunek prostej stycznej do krzywej w punkcie $\overrightarrow{r}(x_0,y_0,z_0)=[1,1,1]$ o równaniu

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{r}(x_0,y_0,z_0)+a_u{\overrightarrow{s}}_u=[1,1,1]+a_u[0,1,0].$

Wektor styczny do krzywej w przestrzeni $R^n$

Współrzędne kartezjańskie

(1) Jeżeli w przestrzeni $R^n$ dany jest układ współrzędnych kartezjańskich, to krzywa może być zadana za pomocą równania parametrycznego $\overrightarrow{r}(u)$

$\overrightarrow{r}(u)=[x^1(u),x^2(u),\dots ,x^n(u)],$ $a⩽u⩽b.$

(2) Współrzędne $T^i$ wektora stycznego do krzywej wyznacza się, licząc pochodne współrzędnych wektora wodzącego krzywej po parametrze $u$

$T^i=\frac{d{x}^i}{du}.$

Współrzędne krzywoliniowe

W układzie współrzędnych krzywoliniowych

$q^i=q^i(x^1,x^2,\dots ,x^n),i=1,\dots ,n$

mamy wzory analogiczne jak w układzie kartezjańskim:

(1) krzywa jest zadana równaniami parametrycznymi

$q^i(x^i)=q^i(u),i=1,\dots ,n,$

(2) współrzędne wektora stycznego do krzywej $T^{{}^{\prime }i},i=1,\dots ,n$ oblicza się, licząc pochodne współrzędnych $q^i$ po parametrze $t$

$T^{{}^{\prime }i}=\frac{d{q}^i}{dt},$

przy tym należy pamiętać, iż współrzędne powyższe ma wektor w tzw. bazie naturalnej (por. współrzędne krzywoliniowe).

Dowód:

Wektor styczny jest wektorem kontrawariantnym (jako iloraz różniczki współrzędnych przez różniczkę parametru, który jest niezmiennikiem transformacji współrzędnych). Wektor kontrawariantny przy przejściu z jednego układu (tu kartezjańskiego) na inny (tu krzywoliniowy) transformuje się wg prawaSzablon:Odn

$T^{{}^{\prime }i}=\frac{\partial q^i}{\partial x^s}{T}^s.$

Podstawiając $T^s=\frac{d{x}^s}{du},$ otrzymamy

$T^{{}^{\prime }i}=\frac{\partial q^i}{\partial x^s}\frac{d{x}^s}{du}.$

Jednocześnie wiadomo, że zachodzi zależność między różniczkami w starym i nowym układzie

$\frac{d{q}^i}{dt}=\frac{\partial q^i}{\partial x^s}\frac{d{x}^s}{dt}.$

Porównując dwa ostatnie wzory, widać, że musi zachodzić $T^{{}^{\prime }i}=\frac{d{q}^i}{dt},$ cnd.

Zobacz też

• linia geodezyjna
• przestrzeń styczna
• styczna
• wektor normalny

Bibliografia

• Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
• Tadeusz Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012, s. 254–261.

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę