Punkt Nagela

Punkt Nagela $N$ trójkąta $\mathrm{\Delta }ABC.$ Na pomarańczowo zaznaczono okręgi dopisane do trójkąta $\mathrm{\Delta }ABC$

Punkt Nagela – punkt w trójkącie związany z okręgami dopisanymi, nazwany od nazwiska Christiana von Nagela, niemieckiego matematyka, który opisał go w 1836 rokuSzablon:Odn.

Definicja formalna

Niech dany będzie trójkąt $\mathrm{\Delta }ABC.$ Oznaczmy poprzez $T_A,T_B,T_C$ punkty styczności okręgów dopisanych z bokami trójkąta. Punktem Nagela nazywa się wspólne przecięcie odcinków $T_{A}A,T_{B}B,T_{C}C$ łączących powyższe punkty styczności z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta.

Dowód

Ilustracja obrazująca zależność $|AB|+|B{T}_A|=|AC|+|C{T}_A|$ w trójkącie i jego okręgu dopisanym.

Przy pomocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy udowodnimy, że proste zawierające odcinki $T_{A}A,T_{B}B,T_{C}C$ przecinają się w jednym punkcieSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn.

Z definicji okrąg $O_A$ jest styczny do ramion kąta $\mathrm{\angle }BAC.$ Oznaczmy punkty styczności okręgu $O_A$ z ramionami poprzez $X$ oraz $Y.$ Oznacza to, że odcinki $AX$ i $AY$ mają równą długość. Podobnie równej długości są odcinki $BX$ i $B{T}_A$ oraz $T_{A}C$ i $CY,$ ponieważ okrąg $O_A$ jest również styczny do ramion kątów $\mathrm{\angle }XB{T}_A$ oraz $\mathrm{\angle }{T}_{A}CY.$ Wywnioskować możemy z tego, że Szablon:Wzór Analogicznie wywnioskować możemy, że Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Korzystając z wniosków o styczności okręgu i ramion kątów wywnioskować możemy, że lewe i prawe strony każdej z powyższych równości równe są połowie obwodu trójkąta $\mathrm{\Delta }ABC:$ $\frac{AB+BC+CA}{2}.$ Łącząc parami strony powyższych równości można je dalej przekształcić do postaciSzablon:Odn Szablon:Wzór Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Teraz zauważmy, że zachodzi

$\frac{|A{T}_B|}{|T_{B}C|}\cdot \frac{|C{T}_A|}{|T_{A}B|}\cdot \frac{|B{T}_C|}{|T_{C}A|}=\frac{|B{T}_A|}{|T_{B}C|}\cdot \frac{|T_{C}A|}{|T_{A}B|}\cdot \frac{|C{T}_B|}{|T_{C}A|}=1,$

co jest założeniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy. Wynika z niego, że proste zawierające odcinki $T_{A}A,T_{B}B,T_{C}C$ przecinają się więc w jednym punkcie.

Związki z innymi punktami w trójkącie

Punkt Nagela jest sprzężeniem izotomicznym punktu Gergonne’aSzablon:Odn.

Punkt Nagela, centroid (inaczej barycentrum, punkt przecięcia środkowych) oraz środek okręgu wpisanego są współliniowe i leżą na prostej nazywanej prostą Nagela, drugą prostą Eulera, lub prostą Nagela-EuleraSzablon:Odn.

Środek okręgu wpisanego jest punktem Nagela trójkąta dopełniającego dla trójkąta $\mathrm{\Delta }ABC,$ tj. trójkąta powstałego poprzez połączenie środków boków trójkąta $\mathrm{\Delta }ABC.$ Rozumując odwrotnie, Punkt Nagela trójkąta $\mathrm{\Delta }ABC$ jest środkiem okręgu wpisanego trójkąta antydopełniającego dla trójkąta $\mathrm{\Delta }ABC,$ tj. trójkąta, dla którego $\mathrm{\Delta }ABC$ jest trójkątem dopełniającymSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn.

Współrzędne trójliniowe

Współrzędnymi trójliniowymi punktu Nagela sąSzablon:Odn

${\mathrm{cosec}}^2(A/2):{\mathrm{cosec}}^2(B/2):{\mathrm{cosec}}^2(C/2)$

lub, przyjmując długość odpowiednich boków jako a, b i c,

$\frac{b+c-a}{a}:\frac{c+a-b}{b}:\frac{a+b-c}{c}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-10-30].
• Szablon:Cytuj stronę
• Punkt Nagela ze strony Cut-the-knot