Test Dickeya-Fullera

Test Dickeya-Fullera (skrótowo test DF) – test sprawdzający obecność pierwiastka jednostkowego w modelu autoregresyjnym. Opracowany w 1979 roku przez D.A. Dickeya i W.A. Fullera.

Użycie

Prosty model AR(1) ma postać

$y_t=\rho y_{t-1}+u_t,$

gdzie $y_t$ to zmienna objaśniana, $t$ indeks czasowy, $\rho$ współczynnik, a $u_t$ błąd oszacowania (biały szum). Pierwiastek jednostkowy występuje, gdy $\rho =1.$ W takim wypadku model jest niestacjonarny.

Model regresji może zostać zapisany pod postacią

$\mathrm{\nabla }{y}_t=(\rho -1)y_{t-1}+u_t=\delta y_{t-1}+u_t,$

gdzie $\mathrm{\nabla }$ jest operatorem pierwszych różnic. Możliwa jest estymacja takiego modelu, testowanie na obecność pierwiastka jednostkowego jest równoważne testowaniu czy $\delta =0$ (gdzie $\delta =\rho -1$). Do wyznaczenia wartości krytycznych nie można użyć jednak standardowego rozkładu t-Studenta, gdyż wartość $t$ wyestymowanego współczynnika przy $Y_{t-1}$ nie wpisuje się w rozkład $t$ nawet w dużych próbkach, nie ma asymptotycznego rozkładu normalnego. Statystyka $\tau$ ta ma jednak własny rozkład nazywany rozkładem Dickeya-Fullera (także rozkładem tau).

Występują trzy główne warianty testu:

1. na obecność pierwiastka jednostkowego:

$\mathrm{\nabla }{y}_t=\delta y_{t-1}+u_t,$

2. na obecność pierwiastka jednostkowego z dryftem:

$\mathrm{\nabla }{y}_t=a_0+\delta y_{t-1}+u_t,$

3. na obecność pierwiastka jednostkowego z dryftem i trendem deterministycznym:

$\mathrm{\nabla }{y}_t=a_0+a_{1}t+\delta y_{t-1}+u_t.$

Każda wersja testu ma swoją wartość krytyczną, która zależy od wielkości próbki. W każdym wypadku hipoteza zerowa mówi o obecności pierwiastka jednostkowego, $\delta =0$ – szereg jest niestacjonarny.

Występuje także rozszerzony test Dickeya-Fullera (ADF) który niweluje wpływ autokorelacji w szeregu czasowym.