Twierdzenie Hartmana-Grobmana

Twierdzenie Hartmana-Grobmana – twierdzenie jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych mówiące, że jeśli macierz linearyzacji równania nie ma czysto urojonych wartości własnych, to równanie jest topologicznie sprzężone ze swoją linearyzacją.

Pojęcie topologicznego sprzężenia równań różniczkowych

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie niepustym zbiorem otwartym w $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech $f$ i $g$ będą funkcjami określonymi na $\mathrm{\Omega }$ o wartościach w rzeczywistej przestrzeni euklidesowej $n$-wymiarowej spełniającymi lokalny warunek Lipschitza. Mówimy, że równania różniczkowe: $x^{\prime }(t)=f(x(t))$ oraz $x^{\prime }(t)=g(x(t))$ są topologicznie równoważne na otoczeniu punktu $x_0\in \mathrm{\Omega }$ (czyli mają taką samą strukturę jakościową na otoczeniu tego punktu), jeżeli istnieje otwarte otoczenie $U$ tego punktu oraz homeomorfizm $H:U\to V=H(U)\subset \mathrm{\Omega }$ odwzorowujący trajektorie fazowe równania $x^{\prime }(t)=f(x(t))$ w $U$ na trajektorie fazowe równania $x^{\prime }(t)=g(x(t))$ w $V$ i zachowujący orientację. Jeżeli homeomorfizm $H$ zachowuje jednocześnie parametryzację przez czas, to równania te nazywamy topologicznie sprzężonymi.

Twierdzenie

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie niepustym zbiorem otwartym w $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech $\varphi$ oznacza układ dynamiczny indukowany przez równanie różniczkowe zwyczajne

$x^{\prime }(t)=f(x(t)),$

gdzie $f:\mathrm{\Omega }⟶{ℝ}^n$ jest odwzorowaniem klasy $C^1.$ Niech $x_0\in \mathrm{\Omega }$ będzie takim punktem stacjonarnym równania

$x^{\prime }(t)=f(x(t)),$

że

$\sigma (Df(x_0))\cap iℝ=\varnothing .$

Wówczas równania

$x^{\prime }(t)=f(x(t)),$

$x^{\prime }(t)=Df(x_0)x(t)$

są sprzężone topologicznie na pewnym otoczeniu punktu $x_0,$ tzn. istnieje takie otwarte otoczenie $U\subseteq \mathrm{\Omega }$ punktu $x_0$ oraz homeomorfizm $h:U⟶V=h(U)\subseteq \mathrm{\Omega },$ że

$\mathrm{\forall }\xi \in U\mathrm{\exists }J(\xi )\subseteq ℝ\mathrm{\forall }t\in J(\xi )h\circ \varphi (t,\xi )=e^{Df(x_0)t}\cdot h(\xi ).$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj książkę