Wikiprojekt:SKFiz/brudnopis/Równanie Boltzmanna

Równanie Boltzmana (lub równanie transportu Boltzmana) w fizyce, dokładniej nierównowagowej mechanice statystycznej opisuje statystyczne zachowanie się [płyn|płynów] (cieczy i gazów) poza stanem równowagi. Równanie wyprowadzone przez Ludwika Boltzmanna w 1872.

W równanie tym nie rozpatrujemy statystycznych własności pozycji i pędów każdej cząsteczki, ale funkcję gęstości opisującą liczbę cząstek w zależności od położenia i prędkości. Opisuje ona liczbę cząstek, jaką można znaleźć w pewnej objętości i z określonego przedziału prędkości.

Równania Boltzmanna używa się do wyznaczenia, jak zmieniają się wielkości fizyczne, takie jak gęstość energii czy pęd, w czasie przepływu cieczy. Umożliwia również wyznaczenie makroskopowych wielkości charakteryzujących ciecz, takich jak lepkość, przewodność cieplna czy przewodność elektryczna.

In fact - the problem of existence and uniqueness of solutions is still not fully resolved, but some recent results are quite promising.[2][3]

Podstawy

Przestrzeń fazowa i funkcja gęstości

Zbiór wszystkich możliwych pozycji r i pędów p nazywamy przestrzenią fazową. Innymi słowy, jest to zbiór parametryzowany trzema współrzędnymi przestrzennymi x, y, z i trzema składowych pędu p_x, p_y, p_z. Powstała przestrzeń jest 6-wymiarowa. Punktem tej przestrzeni jest (r, p) = (x, y, z, p_x, p_y, p_z). Aby uwzględnić ewolucję, dodajemy kolejny wymiar - czas. Małą objętość (różniczkowy Element objętości) tej przestrzeni oznaczamy przez d³rd³p = dxdydzdp_xdp_ydp_z.

Głównym obiektem, na którym działa równanie Boltzmanna jest funkcja f(r, p, t) współrzędnych r, p, t, która określa rozkład gęstości cząstek w wyżej zdefiniowanej przestrzeni fazowej. Liczba cząstek w objętości d³rd³p w okolicy punktu r, p i czasie t wynosi: równa jest:

$dN=f(𝐫,𝐩,t)d^3𝐫d^3𝐩$

Całkując po pewnym obszarze przestrzennym ${\mathrm{\Omega }}_x$ i zakresie składowych pędu ${\mathrm{\Omega }}_p$ otrzymujemy liczbę cząsteczek z tego obszaru mających pędy w wyznaczonym przedziale:

$N=\underset{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{x}}}{\int }{d}^3𝐫\underset{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{p}}}{\int }{d}^3𝐩f(𝐫,𝐩,t)=\underset{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{x}}}{\iiint }\underset{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{p}}}{\iiint }f(x,y,z,p_x,p_y,p_z,t)dxdydzd{p}_{x}d{p}_{y}d{p}_z$

Zakładamy, że wszystkie cząsteczki są identyczne i mają masę m.

Równanie ogólne

W ogólności równanie można zapisać:

$\frac{\partial f}{\partial t}={\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\mathrm{F}}+{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\mathrm{D}}+{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\mathrm{K}}$

Gdzie człon siła "F" odpowiada siłom zewnętrznym działającym na cząsteczki, człon "D" odpowiada dyfuzji cząstek, a człon C - "kolizji", czyli oddziaływaniom cząsteczek na siebie.

Siły zewnętrzne i człon dyfuzyjny

Rozważmy cząstki o rozkładzie f, na które działa zewnętrzna siła F.

Niech w chwili t pewne ilość cząstek znajduje się w objętości d³r wokół r i mają pęd p z zakresu d³p.

Suppose at time t some number of particles all have position r within element d³r and momentum p within d³p. If a force F instantly acts on each particle, then at time t + Δt their position will be r + Δr = r + pΔt/m and momentum p + Δp = p + FΔt. Then, in the absence of collisions, f must satisfy

$f(𝐫+\frac{𝐩}{m}\mathrm{\Delta }t,𝐩+𝐅\mathrm{\Delta }t,t+\mathrm{\Delta }t)d^3𝐫d^3𝐩=f(𝐫,𝐩,t)d^3𝐫d^3𝐩$

References

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo