Nierówność wariacyjna

Nierówność wariacyjna – pojęcie z pogranicza rachunku wariacyjnego i teorii zbiorów wypukłych. Najogólniejsza postać tego zagadnienia podana poniżej pochodzi od Stuarta Antmana.

Definicja formalna

Dla danej przestrzeni Banacha $E,$ oraz jej podzbioru $K$ i funkcjonału $F:𝑲\to {𝑬}^{*}$ z $K$ do przestrzeni dualnej $E^{*}$ do przestrzeni $E,$ nierównością wariacyjną jest problem rozwiązania względem zmiennej $x$ przebiegającej zbiór $K$ następującej nierówności:

$⟨F(x),y-x⟩⩾0{\mathrm{\forall }}_{y\in 𝑲}$

gdzie $⟨\cdot ,\cdot ⟩:{𝑬}^{*}\times 𝑬\to ℝ$ jest dualnością wyrażającą się wzorem $⟨x,x^{*}⟩=x^{*}(x),$ gdzie $x\in E,x^{*}\in E^{*}.$

Przykłady

Minimum funkcji na przedziale

Niech $F:I\to ℝ$ będzie funkcją gładką (tzn. różniczkowalną o ciągłej pochodnej), gdzie $I=[a;b]\subset ℝ.$ Jeśli chcemy znaleźć punkt $x_0\in I,$ w którym

$f(x_0)=\underset{x\in I}{\min }f(x).$

Możliwe są wtedy trzy przypadki:

• $a<x_0<b$ i wtedy $f^{\prime }(x_0)=0,$
• $x_0=a$ i wtedy $f^{\prime }(x_0)⩾0,$
• $x_0=b$ i wtedy $f^{\prime }(x_0)⩽0.$

Wszystkie one mogą być zapisane za pomocą nierówności wariacyjnej:

$f^{\prime }(x_0)(x-x_0)⩾0{\mathrm{\forall }}_{x\in I}.$

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi do znalezienia minimum funkcji na przedziale.

Minimum funkcji na zbiorze wypukłym

Niech $F:K\to ℝ$ będzie funkcją gładką określoną na domkniętym wypukłym podzbiorze $K\subset {ℝ}^n,n\in {\mathbb{Z}}_{+}.$ Ponadto niech $x_0\in K$ będzie takim punktem, że

$f(x_0)=\underset{x\in K}{\min }f(x).$

Ponieważ zbiór $K$ jest wypukły, więc odcinek

$\{(1-t)x_0+tx:0⩽t⩽1\}$

leży w zbiorze $K$ i można rozpatrzeć funkcję

$\mathrm{\Phi }(t)=f(x_0+t(x-x_0)),$ gdzie $0⩽t⩽1.$

Osiąga ona minimum dla $t=0$ i dlatego z przykładu poprzedniego wynika, że

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)=\mathrm{grad}f(x_0)(x-x_0)⩾0{\mathrm{\forall }}_{x\in K}$

Zatem punkt $x_0\in K$ spełnia nierówność:

$\mathrm{grad}f(x_0)(x-x_0)⩾0{\mathrm{\forall }}_{x\in K}.$

Jeśli zbiór $K$ jest ograniczony, to istnienie takiego punktu wynika ze zwartości zbioru $K.$

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi zatem do znalezienia minimum funkcji na zbiorze domkniętym wypukłym.

Badanie membrany

Niech $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^N$ będzie obszarem o brzegu $\partial \mathrm{\Omega }$ i niech $\psi :\bar{\mathrm{\Omega }}\to ℝ,$ gdzie $\bar{\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }\cup \partial \mathrm{\Omega },$ będzie taką funkcją, że

${\max }_{\mathrm{\Omega }}\psi ⩾0$ i $\psi ⩽0$

na $\partial \mathrm{\Omega }.$

Niech

$K=\{\upsilon \in {𝒞}^1(\bar{\mathrm{\Omega }}):\upsilon ⩾\psi \text{ na }\mathrm{\Omega }\text{ i }\upsilon =0\text{ na }\partial \mathrm{\Omega }\}$

Zbiór $K$ jest wypukły i dla rozsądnie wybranych funkcji $\psi$ jest niepusty. Należy znaleźć taką funkcję $u\in K,$ dla której

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{grad}u{|}^{2}dx=\underset{\upsilon \in K}{\min }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{grad}\upsilon {|}^{2}dx.$

Problem ten prowadzi do nierówności wariacyjnej

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{grad}u\mathrm{grad}(\upsilon -u)dx$

dla każdego $\upsilon \in K.$