Tensor krzywizny Riemanna

Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela – najpowszechniejsza forma wyrażania krzywizny rozmaitości riemannowskich. Łączy tensor z każdym punktem na rozmaitości Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopień w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny może być także zdefiniowany dla rozmaitości pseudoriemannowskiej lub każdej rozmaitości wyposażonej w połączenie afiniczne.

Stanowi główne narzędzie matematyczne w ogólnej teorii względności, nowoczesnych teoriach grawitacji, krzywizny czasoprzestrzeni. Tensor krzywizny reprezentuje siły pływowe, których doświadcza sztywne ciało poruszające się wzdłuż linii geodezyjnej czasoprzestrzeni w sensie sprecyzowanym przez równanie Jacobiego.

Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii połączenia Leviego-Civity $\mathrm{\nabla }$ przez formułę:

$R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w-{\mathrm{\nabla }}_{[u,v]}w,$

gdzie $[u,v]$ to nawias Liego pól wektorowych. Dla każdej pary wektorów stycznych $u,$ $v,$ istnieje liniowa transformacja $R(u,v)$ przestrzeni stycznej rozmaitości. Jest liniowa w $u$ i $v,$ oraz definiuje tensor. Czasami tensor krzywizny jest zdefiniowany z przeciwnym znakiem.

Formułę powyższą można też wyrazić używając pojęcia drugiej pochodnej kowariantnej:

$\underset{u,v}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_{{\mathrm{\nabla }}_{u}v}w,$

która jest także liniowa w $u$ i $v.$ Wówczas:

$R(u,v)=\underset{u,v}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}-\underset{v,u}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}.$

Tensor krzywizny połączenia Levi-Civity mierzy więc nieprzemienność drugiej pochodnej kowariantnej. Jego nieznikanie stanowi przeszkodę dla istnienia izometrii z przestrzenią euklidesową (nazywaną w tym przypadku płaską).

Liniowa transformacja $w\mapsto R(u,v)w$ jest również nazywana transformacją (lub endomorfizmem) krzywizny.

Zobacz też

• Bernhard Riemann
• Elwin Bruno Christoffel
• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość riemannowska

Bibliografia

• A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN 1965.
• S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Volume 1, Interscience 1963.
• E. Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications 1991.
• R. M. Wald, General relativity, The University of Chicago Press 1984.