Przestrzeń Lorentza

Przestrzenie Lorentza – klasa (quasi-)przestrzeni Banacha uogólniająca przestrzenie L_p. Konstrukcja przestrzeni pochodzi od G. Lorentza.

Konstrukcja

Niech (X,μ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞. Przestrzenią Lorentza L_p,q nazywa się przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji mierzalnych na X dla których wartość

$\Vert f{\Vert }_{L_{p,q}(X,\mu )}=p^{1/q}\Vert t\mu \{|f|⩾t{\}}^{1/p}{\Vert }_{L_q({ℝ}^{+},\frac{dt}{t})}$

jest skończona (jest to wówczas quasinorma zupełna w tej przestrzeni).

W przypadku q < ∞, zachodzi następujący wzór

$\Vert f{\Vert }_{L_{p,q}(X,\mu )}=p^{1/q}{\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^q\mu {\{x\mid |f(x)|⩾t\}}^{q/p}\frac{dt}{t}\right)}^{1/q}.$

natomiast gdy q = ∞ prawdziwy jest wzór

$\Vert f{\Vert }_{L_{p,\mathrm{\infty }}(X,\mu )}^p=\underset{t>0}{\sup }\left(t^p\mu \{x\mid |f(x)|>t\}\right).$

Umownie, definiuje się L^∞,∞(X,μ) = L^∞(X,μ). W przypadku, gdy p=q przestrzenie Lorentza są przestrzeniami L_p, tj. L_p,p = L_p.

Normowanie

Wyżej skonstruowane quasi-przestrzenie Banacha można unormować dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞]. Niech f będzie zespoloną funkcją mierzalną na X oraz niech funkcja

$f^{*}:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty }]$

będzie zdefiniowana wzorem

$f^{*}(t)=\inf \{\alpha \in {ℝ}^{+}:d_f(\alpha )⩽t\}$

gdzie d_ƒ jest tzw. dystrybuantą funkcji ƒ, daną wzorem

$d_f(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \})$

(powyżej umownie przyjęto, że infimum zbioru pustego wynosi ∞.

Dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞] funkcja

$\Vert f{\Vert }_{L^{p,q}}=\{\begin{array}{cc}{(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(t^{\frac{1}{p}}{f}^{*}(t){)}^q\frac{dt}{t})}^{\frac{1}{q}}& q\in (0,\mathrm{\infty }),\\ \underset{t>0}{\sup }{t}^{\frac{1}{p}}{f}^{*}(t)& q=\mathrm{\infty }.\end{array}$

jest normą w przestrzeni Lorentza L^p,q.