Diagram Schlegela

Diagramy Schlegela wielościanów

Diagram Schlegela wielościanu wypukłego – obraz brzegu wielościanu w rzucie środkowym o środku S na płaszczyznę $\pi ,$ gdzie:

1. Płaszczyzna $\pi$ jest równoległa do jednej ze ścian $𝔰$ wielościanu i leży po tej samej stronie płaszczyzny ${\pi }_{𝔰}$ zawierającej ścianę $𝔰$
2. Środek rzutowania S znajduje się w takiej odległości od ściany $𝔰,$ że rzuty wszystkich ścian wielościanu są zawarte w rzucie $𝔰.$

W przypadku wielościanu foremnego punkt rzutowania umieszcza się zwykle nad środkiem ściany, odpowiednio blisko jej.

Podstawowa własność diagramu Schlegela. Rzuty wszystkich ścian wielościanu poza $𝔰$ wypełniają rzut ściany $𝔰,$ a rzuty poszczególnych ścian mają wspólny wierzchołek lub wspólny bok wtedy i tylko wtedy, gdy same ściany wielościanu mają tę własność.

Korzystając z powyższej własności, można opisać diagram Schlegela wielościanu w sposób następujący: Jest to zbiór wielokątów wypukłych ${𝔴}_1,\dots ,{𝔴}_n$ odpowiadających (wszystkim) ścianom wielościanu ${𝔰}_1,\dots ,{𝔰}_n$ o następujących własnościach:

1. Dla każdego $k\in \{1,\dots n\}$ wielokąt ${𝔴}_k$ ma tyle samo boków, co ściana ${𝔰}_k.$
2. Suma mnogościowa wielokątów ${𝔴}_2,\dots ,{𝔴}_n$ jest równa wielokątowi ${𝔴}_1.$
3. Dwa wielokąty mają wspólny wierzchołek (wspólną ścianę) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im ściany mają wspólny wierzchołek (wspólną krawędź)

Konstrukcja diagramu Schlegela wielościanu zwykłego

W deformacji (homeomorfizmie) $𝔡$ przekształcającej wielościan zwykły na kulę powierzchnia wielościanu jest przekształcana na sferę. Przy czym wierzchołki wielościanu są przekształcane na wierzchołki, a krawędzie na łuki położone na sferze. Ściany ${𝔰}_1,\dots ,{𝔰}_n$ są w deformacji przekształcane na obszary ${𝔬}_1,\dots ,{𝔬}_n,$ które można uznać za wielokąty krzywoliniowe, a krawędzie i wierzchołki każdej ściany są przekształcane na łuki, których sumy tworzą brzeg odpowiadającego jej obszaru. Niech X będzie dowolnie wybranym punktem obszaru ${𝔬}_1.$ Rzuty stereograficzne wielokątów krzywoliniowych ${𝔬}_2,\dots ,{𝔬}_n$ to wielokąty krzywoliniowe ${𝔳}_1,\dots ,{𝔳}_n,$ których suma domknięć ma brzeg równy brzegowi obrazu obszaru ${𝔬}_1.$ Otrzymany układ wielokątów krzywoliniowych tworzy diagram Schlegela wielościanu zwykłego.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę