Twierdzenie Krulla

Twierdzenie Krulla – twierdzenie teorii pierścieni mówiące o istnieniu ideałów maksymalnych w dowolnym nietrywialnym pierścieniu z jedynką lub równoważnie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym danego nietrywialnego pierścienia z jedynką. Twierdzenie to zostało sformułowane w 1929 roku przez Wolfganga Krulla i jest równoważne z aksjomatem wyboru (gdyż wykorzystuje równoważny z nim lemat Kuratowskiego-Zorna).

Poniższy dowód obowiązuje dla ideałów lewostronnych bądź w pierścieniach przemiennych dla ideałów obustronnych; obowiązuje on mutatis mutandis dla ideałów prawostronnych.

Dowód

Szablon:Zobacz też Niech $ℐ$ oznacza rodzinę wszystkich ideałów właściwych pierścienia $R$ zawierających ustalony ideał $I,$ częściowo uporządkowaną relacją zawierania. Należy wykazać, że w niepustej rodzinie $ℐ$ (należy do niej $I$) istnieje element maksymalny – jest to szukany ideał maksymalny pierścienia $R.$ Niech $ℒ$ będzie łańcuchem w $ℐ,$ wówczas jeśli $I_1,I_2\in ℒ,$ to $I_1\subseteq I_2$ lub $I_1\supseteq I_2.$

Wystarczy więc dowieść, że $J=\bigcup 𝒥$ należy do $ℐ,$ a ponieważ $I\subseteq J,$ to pozostaje sprawdzić, że $J$ jest ideałem właściwym:

• Otóż jeśli $a,b\in J,$ to istnieją ideały $I_1,I_2\in ℒ,$ dla których $a\in I_1$ i $b\in I_2.$ Przyjmując dla ustalenia uwagi $I_1\subseteq I_2$ otrzymuje się, iż $a,b\in I_2,$ skąd $a+b\in I_2,$ czyli $a+b\in J$ (podobnie dla $I_2\subseteq I_1$); ponadto jeśli $r\in R$ oraz $a\in J,$ to istnieje wtedy taki ideał $I_1\in 𝒥,$ że $a\in I_1,$ wtedy $ra\in I_1,$ skąd $ra\in J.$ Wynika stąd, że $J$ jest ideałem.
• Ideał $I$ jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy $1\notin I$ (jeśli $1\in I,$ to $r1\in I$ dla dowolnego $r\in R$ oznacza, że $I=R;$ z drugiej strony jeżeli $I=R,$ to $1\in I$). Skoro wszystkie ideały należące do $𝒥$ są właściwe, to żaden z nich nie zawiera jedynki, czyli również $1\notin J,$ co oznacza, że $J$ także jest właściwy.

W ten sposób $J\in ℐ,$ a ponieważ suma każdego łańcucha w $ℐ$ należy do $ℐ,$ to z wniosku do lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w rodzinie $ℐ$ istnieje element (ideał) maksymalny.

Bibliografia

• Wolfgang Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, „Mathematische Annalen” 10 (1929), s. 729–744.