Wzór Ackermanna

Wzór Ackermanna (lub formuła Ackermanna, ang. Ackermann’s formula) – algorytm, przedstawiony w 1972 roku, stosowany do lokowania biegunów w układach ze sprzężeniem zwrotnym od stanu.

Niech dany będzie układ liniowy ze sprzężeniem zwrotnym:

$u=-Kx,$

gdzie $u$ jest wektorem sterowań, $x$ wektorem stanu, $K$ wektorem wzmocnień. Układy tego typu zwykle nazywa się regulatorami. Podstawienie powyższego związku do równań stanu regulowanego układu daje zależność:

$x^{\prime }=Ax-BKx.$

Wzór Ackermanna jest metodą doboru wartości wzmocnień $K$ w taki sposób, by można było wpływać na położenie biegunów układu regulowanego (o jednym wejściu). Jeśli więc układ ten jest sterowalny można dobrać arbitralnie bieguny dla regulatora układu korzystając z wzoru Ackermanna:

$K=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]{\zeta }^{-1}\varphi (A),$

gdzie:

$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$ jest wektorem jednostkowym o długości $n,$

$\varphi (A)$ jest pożądanym równaniem charakterystycznym układu, czyli wielomianem charakterystycznym macierzy $A$ określonym wzorem $\varphi (A)=A^n+a_1{A}^{n-1}+a_2{A}^{n-2}+\dots +a_{n-1}A+a_{n}I,$ gdzie $I$ jest macierzą jednostkową, a współczynniki $a_i$ są takie, że wartości własne układu: ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ są pierwiastkami wielomianu $(s-{\lambda }_1)(s-{\lambda }_2)\dots (s-{\lambda }_n)=s^n+a_1{s}^{n-1}+a_2{s}^{n-2}\dots +a_{n-1}s+a_n,$

$\zeta =\left[\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]$ jest macierzą sterowalności regulowanego układu.

Regulator tego typu ma za zadanie doprowadzić wektor stanu do zera. Korzystając z wejścia ze zmienną referencyjną w miejsce liniowego sprzężenia zwrotnego od stanu, można podobnie przeprowadzić wektor stanu do dowolnego stanu wybranego arbitralnie i przesunąć bieguny układu w arbitralnie wybrane miejsca.