Zbiór jednoelementowy

Zbiór jednoelementowy, zbiór jednostkowy, singleton – zbiór, do którego należy dokładnie jeden element. Zbiór, którego jedynym elementem jest $x,$ oznacza się zwykle $\{x\};$ można go scharakteryzować w następujący sposób:

$a\in \{x\}\iff a=x$.

Własności

Zbiory jednoelementowe mają następujące kluczowe własności:

$\{a\}\cap \{b\}=\varnothing \iff a\ne b\iff \{a\}\ne \{b\},$

powyższe równoważności można także zapisać jako:

$\{a\}\cap \{b\}\ne \varnothing \iff a=b\iff \{a\}=\{b\}.$

Ponadto każdy zbiór jest sumą zbiorów jednoelementowych zawierających jego elementy:

$A=\bigcup _{x\in A}\{x\}.$

Zachodzi także:

$x\in X\iff \{x\}\subset X$.

Przykłady

Teoria mnogości

Elementem zbioru jednoelementowego może być dowolny obiekt – również inny zbiór. Zbiór jednoelementowy jest zawsze czymś innym niż element, który zawiera:

• Zbiór $\mathbb{N}$ zawiera wszystkie liczby naturalne, a $\{\mathbb{N}\}$ to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór liczb naturalnych.
• Podobnie $\varnothing$ jest zbiorem pustym, tzn. nie zawierającym żadnego elementu: $\mathrm{\forall }x:x\in ̸\varnothing ,$ natomiast zbiór $\{\varnothing \}$ jest zbiorem jednoelementowym, którego jedyny element jest zbiorem pustym. W szczególności $\{\varnothing \}\ne \varnothing .$ Podobnie $\{\{\varnothing \}\}\ne \varnothing$ oraz $\{\{\varnothing \}\}\ne \{\varnothing \}.$ Obserwacja ta umożliwia „tworzenie czegoś z niczego” (łac. creatio ex nihilo), tzn. ze zbioru pustego. Wychodząc z podobnych idei John von Neumann zbudował swoją teorię liczb naturalnych.

Zbiór $𝒫(X)$ wszystkich podzbiorów (tzw. zbiór potęgowy) zbioru $X$ jest sumą zbiorów jednoelementowych będących podzbiorami zbioru $X:$

$𝒫(X)=\bigcup _{Y\subset X}\{Y\},$

co można także zapisać w postaci

$Y\in 𝒫(X)\iff Y\subset X$

Zbiór jednoelementowy występuje w sformułowaniu aksjomatu nieskończoności w aksjomatyce Zermela-Fraenkla teorii mnogości; ponadto pełni on ważną rolę w definicji Kazimierza Kuratowskiego pary uporządkowanej:

$⟨a,b⟩=\{\{a\},\{a,b\}\}$.

Topologia

W każdym zbiorze jednoelementowym można zdefiniować topologię, w której każdy podzbiór jest otwarty – rodzina zbiorów otwartych jest wtedy dwuelementowa i zawiera zbiór pusty oraz cały zbiór jednoelementowy. Tak zdefiniowana przestrzeń topologiczna jest jednocześnie dyskretna (wszystkie podzbiory są otwarte) i antydyskretna (tylko niezbędne podzbiory są otwarte). Jest także przestrzenią T₁, bo jedyny podzbiór jednoelementowy jest domknięty. Jest wreszcie w sposób trywialny przestrzenią T₀.

Teoria kategorii

W niektórych kategoriach, na przykład w kategorii zbiorów $𝐒𝐞𝐭,$ obiekty końcowe są zbiorami jednoelementowymi.