Równanie charakterystyczne

Równanie charakterystyczne – termin używany w teorii równań różniczkowych oraz w teorii sterowania.

Równanie charakterystyczne równania różniczkowego

Niech dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu $n$ -tego o stałych współczynnikach $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0} :$

a_{n} x^{(n)} + a_{(n - 1)} x^{(n - 1)} + \dots + a_{1} x^{(1)} + a_{0} x = 0,

w którym $x^{(i)}$ oznacza $i$ -tą pochodną funkcji $x (t)$ po zmiennej $t; i = 1, \dots, n - 1, n .$

Zgodnie z metodą podaną przez Eulera poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci $e^{r t},$ gdzie $r$ jest pewną stałą. Podstawiając to rozwiązanie do danego równania różniczkowego otrzymuje się równanie

a_{n} r^{n} + a_{n - 1} r^{n - 1} + \dots + a_{1} r + a_{0} = 0,

które nazywa się równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Rozwiązując równanie charakterystyczne otrzymuje się możliwe, różne rozwiązania szczególne dla odpowiedniego równania różniczkowego.

Przykład

Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach

x^{(5)} + x^{(4)} - 4 x^{(3)} - 16 x^{″} - 20 x^{'} - 12 x = 0

ma równanie charakterystyczne

r^{5} + r^{4} - 4 r^{3} - 16 r^{2} - 20 r - 12 = 0

Równanie to sprowadza się do postaci iloczynowej

(r - 3) (r^{2} + 2 r + 2)^{2} = 0

Równanie to ma pierwiastek rzeczywisty $r_{1} = 3$ oraz pierwiastki zespolone $r_{2} = r_{3} = - 1 - i,$ $r_{4} = r_{5} = - 1 - i$ .

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego ma postać:

x (t) = c_{1} e^{3 t} + e^{- t} (c_{2} \cos t + c_{3} \sin t) + t e^{- t} (c_{4} \cos t + c_{5} \sin t)

gdzie $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}$ - stałe liczby, które zależą od warunków początkowych.