Entropia topologiczna

Szablon:Dopracować Entropia topologiczna – miara złożoności układu dynamicznego, będąca dodatnią liczbą z rozszerzonej osi liczb rzeczywistych. Intuicyjnie, opisuje ona tempo wykładniczego wzrostu złożoności opisu układu wraz ze wzrostem dokładności tego opisu.

Pierwotnie została zdefiniowana w 1965 przez Adlera, Konheima oraz McAndrew jako analogia dla entropii z teorii miary. Drugą, bardziej intuicyjną definicję podali Dinaburg oraz Bowen w latach 1970-1971. Obie definicje są sobie równoważne, jednak w praktyce definicja Bowena-Dinaburga jest znacznie łatwiejsza do obliczeń.

Definicje

Topologiczny układ dynamiczny składa się z przestrzeni Hausdorffa $X$ (zazwyczaj zakłada się jej zwartość) oraz ciągłego odwzorowania $f:X\to X$.

Definicja Adlera, Konheima i McAndrew

Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla dowolnego skończonego pokrycia otwartego $C$ przestrzeni $X$ niech $H(C)$ oznacza logarytm (zazwyczaj o podstawie 2) z minimalnej liczby elementów $C$, które stanowią pokrycie $X$.

Dla dwóch skończonych pokryć otwartych $C$ i $D$ przez $C\wedge D$ oznaczmy pokrycie $X$ złożone z przecięć elementów tych pokryć. Analogicznie rozszerzamy tę notację na większą liczbę pokryć.

Dla dowolnego ciągłego odwzorowania $f:X\to X$ istnieje granica:

$H(f,C)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}H(C\vee f^{-1}C\vee \dots \vee f^{-n+1}C).$

Entropią topologiczną dla odwzorowania f określamy liczbę:

$h(f)=\underset{C\in 𝒞}{\sup }H(f,C)$

Gdzie przez $𝒞$ oznaczamy zbiór wszystkich skończonych pokryć $X$.

Definicja Bowena-Dinaburga

Niech $f:X\to X$ będzie odwzorowaniem ciągłym w zwartej przestrzeni metrycznej $(X,d)$.

Dla $n=1,2,...,$ zdefiniujmy ciąg metryk $d_n^f,$ dany wzorem:

$d_n^f(x,y)=\underset{0\le i\le n-1}{\max }\{d(f^i(x),f^i(y))\}$

Dla dowolnego $\epsilon >0$ i $n\ge 1$ dwa punkty w $(X,d_n^f)$ są w odległości nie większej niż $\epsilon$ wtedy i tylko wtedy, gdy ich pierwsze n iteracji nie oddala ich o więcej niż $\epsilon .$ Metryki te są równoważne $d$ więc w szczególności $(X,d_n^f)$ są zwartymi przestrzeniami metrycznymi.

Mówimy, że podzbiór $E\subseteq X$ przestrzeni metrycznej jest ε-oddzielony, gdy dowolne dwa jego punkty są w odległości co najmniej ε w metryce odziedziczonej z $X$. Niech $N(\epsilon ,n)$ będzie maksymalną mocą takiego zbioru dla $(X,d_n^f)$. Ponieważ ta przestrzeń metryczna jest zwarta, gwarantuje to, że moc takiego zbioru jest liczbą skończoną.

Entropią topologiczną dla odwzorowania f określamy liczbę:

$h(f)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{1}{n}\log N(n,ϵ)).$

Interpretacja

Granica ta zawsze istnieje w rozszerzonej osi liczb rzeczywistych, jednak może wynosić $+\mathrm{\infty }$. Ze względu na użycie logarytmu h(f) mierzy szybkość wykładniczego wzrostu maksymalnej liczby orbit, których punkty będą oddalać się o co najmniej ε, gdy ε jest dowolnie mały. W tym sensie h(f) jest miarą złożoności układu dynamicznego i opisuje w toporny, ale sugestywny sposób całkowitą wykładniczą złożoność struktury orbity poprzez jedną tylko liczbę.

Uwagi do definicji

• Założenie o metryzowalności przestrzeni $X$ tylko pozornie jest ograniczające, ponieważ zwarte przestrzenie Hausdorffa są metryzowalne.
• Mimo, że teoretycznie wartość entropii w definicji Bowena-Dinaburga zależy od metryki zadającej topologię na $X$, to dla metryk równoważnych (zadających tę samą topologię) wartości te są równe, więc wybór metryki nie ma znaczenia.
• Bowen wykazał, że założenie o zwartości przestrzeni metrycznej w definicji Bowena-Dinaburga nie jest konieczne, jeżeli założy się jednostajną ciągłość odwzorowania.

Własności entropii topologicznej

• Układy chaotyczne wyróżniają się posiadaniem dodatniej entropii.
• Entropia topologiczna jest niezmiennikiem sprzężenia topologicznego.
• Entropia topologiczna odwzorowań zwężających oraz izometrii jest zerowa.
• Jeżeli $\mathrm{\Lambda }$ jest domkniętym zbiorem f-niezmienniczym, to $h_{top}(f_{\upharpoonright \mathrm{\Lambda }})\le h_{top}(f).$
• Jeżeli $X=\bigcup _{i=1}^m{\mathrm{\Lambda }}_i,$ gdzie ${\mathrm{\Lambda }}_i$ są domkniętymi zbiorami f-niezmienniczymi, to $h_{top}(f)=\underset{1\le i\le m}{\max }{h}_{top}(f_{\upharpoonright {\mathrm{\Lambda }}_i}).$
• $h_{top}(f^m)=|m|\cdot h_{top}(f).$
• Jeżeli odwzorowanie $g$ jest faktorem odwzorowania $f,$ to $h_{top}(g)\le h_{top}(f).$
• $h_{top}(f\times g)=h_{top}(f)+h_{top}(g),$ gdzie $f:X\to X,$ $g:Y\to Y,$ zaś odwzorowanie $f\times g:X\times Y\to X\times Y$ dane jest wzorem: $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).$