Hipoteza abc

Hipoteza abc (hipoteza Oesterle-Massera, hipoteza ABC) – zagadnienie z teorii liczb. Po raz pierwszy problem został przedstawiony przez Josepha Oesterlé i Davida Massera w 1985 roku.

Sformułowanie problemu

Przed sformułowaniem hipotezy wprowadzić należy kilka pojęć.

Niech dane będą względnie pierwsze liczby całkowite dodatnie $a,b,c$ spełniające równość $a+b=c.$

Zdefiniujemy następujące funkcje:

$q(a,b,c)=\frac{\log (c)}{\log (\mathrm{rad}(abc))},$

gdzie $\mathrm{rad}(abc)$ oznacza część bezkwadratową iloczynu $abc,$ czyli iloczyn wszystkich różnych liczb pierwszych będących dzielnikami liczb $a,b,c$ (na przykład: $\mathrm{rad}(12\cdot 9\cdot 13)=2\cdot 3\cdot 13=78,$ ponieważ w rozkładzie 12, 9 i 13 na czynniki pierwsze występują tylko 2, 3 i 13).

Wiadomym jest, że istnieje nieskończenie wiele takich trójek liczb $(a,b,c),$ że $q(a,b,c)>1.$ Hipoteza ABC jest natomiast przypuszczeniem, że

Dla każdej liczby $x>1$ istnieje co najwyżej skończenie wiele trójek liczb $(a,b,c)$ spełniających warunek $q(a,b,c)>x,$

czyli, w szczególności, że istnieje skończenie wiele trójek spełniających: $q(a,b,c)>1,01;$ $q(a,b,c)>1,001$ itd.

Dowód

W sierpniu 2012 Shinichi Mochizuki opublikował na swojej stronie internetowej ponad 600-stronicową pracę, zawierającą dowód hipotezy ABC. Dowód jest w trakcie weryfikacji. W 2018 roku Peter Scholze i Jakob Stix opublikowali raport ukazujący błędy dowodu. Mochizuki nie zgodził się z krytyką, a 3 kwietnia 2020 na konferencji prasowej w Kioto ogłoszono, że praca ta została zaakceptowana do druku w uczelnianym czasopiśmie naukowym „Szablon:Link-interwiki”. Kontrowersje budzi jednak fakt, że Mochizuki był jego redaktorem naczelnym. Prawdziwość dowodu wciąż zostaje niepotwierdzona, a zdania na temat jej autentyczności pozostaje sporna.

Poszukiwania

W 2006 roku na wydziale matematyki Uniwersytetu w Lejdzie, we współpracy z holenderskim projektem naukowym Szablon:Link-interwiki w Kennislink (Muzeum Nauki Nemo) rozpoczęto projekt ABC@home oparty na przetwarzaniu rozproszonym w infrastrukturze BOINC. Celem projektu jest szukanie trójek $(a,b,c)$ spełniających nierówność $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc)<c.$

Konsekwencje

W czasie badania hipotezy odkryto wiele ciekawych przypadków w teorii liczb. Oto niektóre z nich:

• rozwiązanie twierdzenia Rotha,
• udowodnienie wielkiego twierdzenia Fermata (Andrew Wiles, 1993),
• udowodnienie hipotezy Mordella (Gerd Faltings, 1983),
• kontrprzykłady dla hipotezy Erdősa-Woodsa (z wyjątkiem liczb skończonych),
• uogólnienie teorii Tijdemana,
• rozwiązanie hipotezy Granville-Langevin,
• rozwiązanie zmodyfikowanej hipotezy Szpiro,
• w 1996 A. Dąbrowski wykazał, że z hipotezy ABC można wyprowadzić rozwiązanie równania Brocarda-Ramanujana – jest to uogólnienie twierdzenia Overholta.

Bibliografia

• Wiktor Bartol, Witold Sadowski, O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty, Warszawa 2005.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-07-02].