Otoczka mierzalna

Otoczka mierzalna – dla danego podzbioru przestrzeni z miarą, zbiór mierzalny, który jest w pewnym sensie od niego niewiele większy. Otoczka mierzalna (o ile istnieje) nie jest wyznaczona jednoznacznie (tzn. jest wyznaczona z dokładnością do zbioru miary zero). Otoczką mierzalną zbioru mierzalnego jest on sam oraz każdy inny zbiór mierzalny różniący się z nim o zbiór miary zero. Czasami używa się również pojęcia dualnego do pojęci otoczki mierzalnej, tzw. jądra mierzalnego.

Definicja

Niech $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech ${\mu }^{*}(A)=\inf \{\mu (B):B\in 𝒜,A\subseteq B\}$ dla dowolnego $A\subseteq \mathrm{\Omega }.$

Zbiór $B\in 𝒜$ nazywany jest

• otoczką mierzalną zbioru $A\subseteq \mathrm{\Omega },$ gdy $A\subseteq B$ oraz dla każdego zbioru $C\in 𝒜$

$\mu (B\cap C)={\mu }^{*}(A\cap C)$

• jądrem mierzalnym zbioru $A\subseteq \mathrm{\Omega },$ gdy $B\subseteq A$ oraz dla każdego zbioru $C\in 𝒜$

$\mu (B\cap C)={\mu }^{*}(A\cap C)$

Zbiór $A\subseteq \mathrm{\Omega }$ ma otoczkę mierzalną wtedy i tylko wtedy, gdy ma jądro mierzalne.

Własności

• Jeżeli $A\subseteq \mathrm{\Omega }$ oraz $A\subseteq B,B\in 𝒜,$ to $B$ jest otoczką mierzalną zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego takiego zbioru $F\subseteq B\setminus A,$ że $F\in 𝒜$ mamy $\mu (F)=0.$
• Jeżeli $A\subseteq \mathrm{\Omega }$ oraz $A\subseteq B,B\in 𝒜$ i $\mu (B)<\mathrm{\infty },$ to $B$ jest otoczką mierzalną zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\mu }^{*}(A)=\mu (E).$

• Jeżeli $B$ jest otoczką mierzalną zbioru $A$ oraz $H\in 𝒜,$ to $B\cap H$ jest otoczką mierzalną zbioru $A\cap H.$
• Jeżeli dla każdej liczby naturalnej n zbiór $B_n$ jest otoczką mierzalną zbioru $A_n,$ to $\bigcup _{n<\omega }{B}_n$ jest otoczką mierzalną $\bigcup _{n<\omega }{A}_n.$
• Jeżeli $\mu$ jest miarą σ-skończoną, to każdy zbiór $A\subseteq \mathrm{\Omega }$ ma otoczkę mierzalną. W szczególności, każdy podzbiór przestrzenią euklidesową (z miarą Lebesgue’a) ma otoczkę mierzalną.
• Jeżeli $\mu$ jest miarą σ-skończoną oraz $𝒩$ jest ideałem zbiorów miary zero w $\mathrm{\Omega },$ to ilorazowa algebra Boole’a $𝒫(\mathrm{\Omega })/𝒩$ jest monadyczną algebrą Boole’a z operacją $\mathrm{\exists }a=a^{*},$ gdzie $a^{*}$ jest klasą abstrakcji dowolnej otoczki mierzalnej dowolnego reprezentanta klasy $a.$

Bibliografia

• D.H. Fremlin: Measure Thoery: Volume 1. Torres Fremlin, Colchester 2000, s. 66.