Funkcja theta Ramanujana

Funkcja theta Ramanujana – uogólnia postać funkcji theta Jacobiego, przy zachowaniu ich ogólnych własności. Przy zapisie zgodnym z funkcją theta Ramanujana iloczyn mieszany Jacobiego przybiera najbardziej przejrzystą formę. Funkcja została nazwana na cześć jej twórcy, hinduskiego matematyka samouka Srinivasy Ramanujana.

Definicja

Funkcję można opisać wzorem:

$f(a,b)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n(n+1)/2}{b}^{n(n-1)/2}$

dla $|ab|<1.$ Tożsamość iloczynu mieszanego Jacobiego przybiera postać

$f(a,b)=(-a;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(-b;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty }}.$

Wyrażenie $(a;q{)}_n$ oznacza symbol q-Pochhammera. Wynikają z tego tożsamości:

$f(q,q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{(-q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}{(-q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}$

oraz

$f(q,q^3)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n(n+1)/2}=\frac{(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}$

oraz

$f(-q,-q^2)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(3n-1)/2}=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}$

Ostatnia z nich, będąc funkcją Eulera (nie mylić z funkcją φ) jest ściśle związana z funkcją modularną Dedekinda.

Bibliografia

• Szablon:MathWorld