Czas własny

(1) Pionowy odcinek $t$ reprezentuje czas jaki minął pomiędzy dwoma zdarzeniami czasoprzestrzennymi $E_1$ i $E_2$ mierzony przez obserwatora w układzie inercjalnym. (2) Czerwona krzywa między punktami $E_1$ i $E_2$ – to trajektoria w czasoprzestrzeni (linia świata) układu nieinercjalnego; jej tzw. pseudodługość jest wielkością niezmienniczą (skalarną) równa czasowi własnemu $\tau$, mierzonemu zegarem poruszającym się, pomnożonemu przez prędkość światła $c.$ Czas własny jest mniejszy niż czas t – mimo że długość krzywej w przestrzeni euklidesowej byłaby większa niż odcinek pionowy czasu t, to w przestrzeni Minkowskiego jest inaczej – bo jest to przestrzeń nieeuklidesowa.

Czas własny – czas $\tau$ wskazywany przez zegar poruszający się wraz z ciałem. Czas własny pomnożony przez prędkość światła jest równy długości linii świata ciała pomiędzy zdarzeniem włączenia zegara a jakimś zdarzeniem późniejszym. Linia świata jest krzywą, jaką kreśli w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni poruszające się ciało. Ponieważ długość krzywej mierzona między dowolnymi punktami w czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza (dokładniej: jest wielkością geometryczną czasoprzestrzeni generowanej przez grupę przekształceń Lorentza), to i czas własny jest niezmiennikiem.

(Dokładniej: grupa transformacji Lorentza generuje geometrię 4-wymiarową – wg ujęcia geometrii przez program erlangeński Kleina).

Pojęcie czasu własnego wprowadza szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności.

Związek między czasem własnym $\tau$ a czasem $t$

Jeżeli cząstka porusza się ruchem dowolnie zmiennym, to upływ czasu własnego $\tau$ będzie różnił się od upływu czasu $t,$ jaki zostanie zmierzony zegarami w układzie spoczynkowym, oddzielającym dwa zdarzenia $E_1,E_2$ na linii świata cząstki (patrz rysunek).

Znajdziemy związek między tymi czasami.

Opis ruchu w układzie spoczynkowym

Niech cząstka porusza się w czasoprzestrzeni po trajektorii, którą w układzie nieruchomym opisuje wektor styczny

$x^0=x^0(t),x^1=x^1(t),x^2=x^2(t),x^3=x^3(t).$

Dwu punktom krzywej

$𝐱(t)=[x^0(t),x^1(t),x^2(t),x^3(t)]$

oraz

$𝐱(t+dt)=𝐱(t)+d𝐱(t)=𝐱(t)+[d{x}^0(t),d{x}^1(t),d{x}^2(t),d{x}^3(t)]$

związanym z upływem czasu $dt$ odpowiada różniczkowe przemieszczenie się cząstki w czasoprzestrzeni $ds$(zwane interwałem czasoprzestrzennym), takie że

$d{s}^2\equiv |d𝐱{|}^2=c^{2}d{t}^2-dx(t{)}^2-dy(t{)}^2-dz(t{)}^2.$

Opis ruchu w układzie poruszającym się

W szczególnej teorii względności postuluje się, że interwał jest niezmiennikiem, tj. jest wielkością geometryczną, a więc niezależną od tego w jakim układzie współrzędnych się ją wyraża. Dlatego w układzie poruszającym się interwał ten jest taki sam; wyraża go wzór

$d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2-(dx{\text{'}}^2+dy{\text{'}}^2+dz{\text{'}}^2),$

przy czym $d\tau$ – upływ czasu w układzie poruszającym się, oraz

$d{x}^{\prime }=d{y}^{\prime }=d{z}^{\prime }=0,$

gdyż cząstka spoczywa w swoim układzie. Stąd dostaniemy

$ds=cd\tau .$

Ostatni wzór oznacza, że:

Różniczkowy upływ czasu własnego $d\tau$ danego ciała mnożony przez prędkość światła jest równy długości różniczkowej $ds$ linii świata tego ciała, kreślonej w czasoprzestrzeni.

Tym samym różniczka

$d\tau =\frac{ds}{c}$

jest również niezmiennikiem relatywistycznym podobnie jak interwał $ds.$

Związek między różniczkami czasu $d\tau$ a $dt$

Podstawiając do wzoru $d\tau =\frac{ds}{c}$ wyrażenie na interwał $ds$ wyrażony przez współrzędne w układzie spoczywającym

$ds(t)=\sqrt{c^{2}d{t}^2-(dx(t{)}^2+dy(t{)}^2+dz(t{)}^2)}$

otrzymamy

$d\tau =\frac{\sqrt{c^2\text{d}{t}^2-(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)}}{c}.$

Wyciągając $cdt$ przed nawias otrzymamy:

$d\tau =\sqrt{1-\frac{1}{c^2}[{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2]}dt,$

czyli

$d\tau =\sqrt{1-\frac{v(t{)}^2}{c^2}}dt.$

Ponieważ prędkość ciała jest zawsze mniejsza niż $c,$ to z powyższego wzoru wynika, iż:

Różniczkowy upływ czasu własnego $d\tau$ mierzony zegarem poruszającym się z ciałem podczas infinitezymalnego przemieszczenia się ciała w czasoprzestrzeni $ds$ jest zawsze mniejszy niż różniczkowy upływ czasu $dt$ mierzony w układzie spoczywającym, rejestrującym to przemieszczenie się ciała.

Związek między czasem $\tau$ a $t$

Całkowity czas własny, jaki upłynął pomiędzy zdarzeniami $E_1$ i $E_2$ obliczy się jako całkę

$\tau =\int d\tau =\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\sqrt{1-\frac{v(t{)}^2}{c^2}}dt,$

gdzie $t_1,t_2$ – wskazania zegarów spoczywających, gdy zaszły zdarzenia $E_1$ i $E_2.$

Ostatecznie mamy wyrażenie na związek między upływem czasu $\tau$ w układzie poruszającym się:

$\tau =\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\frac{dt}{\gamma (t)},$

gdzie:

$\gamma (t)\equiv \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v(t{)}^2}{c^2}}}$ – czynnik Lorentza zależny od chwilowej prędkości układu poruszającego się.

Ponieważ $1/\gamma (t)$ jest zawsze mniejsze lub równe jedności, to:

Czas własny, upływający między dwoma zdarzeniami na linii świata danego ciała, jest zawsze mniejszy niż czas upływający między tymi dwoma zdarzeniami, zmierzony w układzie spoczywającym.

Gdy prędkość ciała poruszającego się jest stała, to $\gamma =const$ i otrzymamy prosty wzór na dylatację czasu w przypadku ruchu jednostajnego:

$\tau =\frac{t}{\gamma }.$

Czas własny w ogólnej teorii względności

Czas własny w ogólnej teorii względności definiuje się następująco: niech dana będzie rozmaitość pseudoriemannowska w której zdefiniowano lokalny układ współrzędnych krzywoliniowych $x^{\alpha },$ wyposażona w tensor metryczny $g_{\mu \nu }(x^{\alpha }).$ Cząstka porusza się po krzywej danej równanie parametrycznym $x^{\alpha }(\lambda ).$ Zależność czasu własnego $\tau$ między włączeniem zegara własnego cząstki, a dowolnym zdarzeniami późniejszym wzdłuż linii świata $P$ cząstki określa interwał

$\tau =\underset{P}{\int }d\tau =\underset{P}{\int }\frac{1}{c}\sqrt{g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }(\lambda )d{x}^{\nu }(\lambda )}.$

Wyrażenie to jest niezmiennicze ze względu na zmianę układu współrzędnych. W płaskiej czasoprzestrzeni wyrażenie to redukuje się do wzoru podanego wyżej.

W układzie cząstki mamy 4-wektory położeń cząstki w chwilach $\tau$ oraz $\tau +d\tau$ odpowiednio $𝐱(\tau )=[x{\text{'}}^0(\tau ),0,0,0]$ oraz $𝐱(\tau +d\tau )=𝐱(\tau )+[dx{\text{'}}^0(\tau ),0,0,0].$

Stąd otrzymamy

$\tau =\underset{P}{\int }d\tau =\underset{P}{\int }\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}(𝐱)}dx{\text{'}}^0.$

Wyrażenie to uogólnia wcześniej podany wzór na związek między czasem własnym a różniczką współrzędnej czasowej $dx{\text{'}}^0$ w układzie poruszającym się.

Zobacz też

• czasoprzestrzeń Minkowskiego
• czterowektor
• interwał czasoprzestrzenny
• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość riemannowska
• wektor styczny
• zdarzenie czasoprzestrzenne

Bibliografia

• L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola, Warszawa: PWN, 2009.