Prosta Aleksandrowa

Prosta Aleksandrowa - nazwa odnosząca się do kilku podobnych konstrukcji przestrzeni topologicznych, które "lokalnie" wyglądają jak prosta rzeczywista, ale są od niej, w pewnym sensie, "o wiele dłuższe". Prostą Aleksandrowa L, zdefiniowaną niżej, można wyobrażać sobie jako sumę nieprzeliczalnie wielu zlepionych ze sobą kopii przedziału (0,1) (prosta rzeczywista może być przedstawiona w postaci sumy przeliczalnie wielu przedziałów otwartych).

Konstrukcja

Przestrzenie

• $L={\omega }_1\times [0,1)=[0,{\omega }_1)\times [0,1)$
• $L^{*}=({\omega }_1+1)\times [0,1)=[0,{\omega }_1]\times [0,1)$

z topologią porządkową wprowadzoną przez porządek leksykograficzny nazywane są, odpowiednio, długą prostą Aleksandrowa i rozszerzoną długą prostą Aleksandrowa. Czasami w literaturze pod tymi nazwami kryją się takie modyfikacje tych przestrzeni jak

$({\omega }_1\times [0,1))\setminus \{(0,0)\}$

Powyżej, ω₁ oznacza najmniejszą nieprzeliczalną liczbą porządkową.

Własności

• Przestrzeń L nie jest zwarta ani ośrodkowa.
• Przestrzeń L* jest zwarta, ale nie jest przestrzenią Eberleina.
• Przestrzenie L i L* są spójne, całkowicie normalne, przeliczalnie zwarte, a więc są także przestrzeniami drugiej kategorii.
• Przestrzeń L jest łukowo spójna. L* nie jest łukowo spójna.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę