Twierdzenie Lapunowa

Twierdzenie Lapunowa – twierdzenie teorii miar wektorowych mówiące, że obraz bezatomowej i ograniczonej miary wektorowej o wartościach w rzeczywistej przestrzeni euklidesowej jest wypukły i zwarty. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w roku 1940 przez radzieckiego matematyka Szablon:Link-interwiki doczekało się wielu nowych dowodów, z których najbardziej znany pochodzi z pracy Jorama Lindenstraussa z roku 1966. Mimo prostoty samego twierdzenia każdy jego dowód jest nieefektywny (tzn. odwołuje się do pewnej wersji aksjomatu wyboru). W dowodzie Lindenstraussa wykorzystuje się twierdzenie Banacha-Alaoglu oraz twierdzenie Krejna-Milmana.

Twierdzenie

Twierdzenie Lapunowa można sformułować korzystając jedynie z pojęć klasycznej teorii miary. Niżej znajduje się jedna z popularniejszych jego wersji przedstawiona w tym duchu:

Niech $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ będzie przestrzenią mierzalną, to znaczy niech $𝒜$ oznacza σ-ciało określone na zbiorze $\mathrm{\Omega }$ oraz niech ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n$ będą skończonymi i bezatomowymi miarami na $𝒜.$ Wówczas obraz funkcji $\mu$ danej wzorem

$\mu (A)=({\mu }_1(A),\dots ,{\mu }_n(A))(A\in 𝒜)$

jest zwartym i wypukłym podzbiorem przestrzeni ${ℝ}^n.$

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. PWN, Warszawa 2009